向量与立体几何中角的综合

如图,L1,L2是相互垂直的异面直线，MN是它们的共垂线段，点A,B在L1上，C在L2上，AM=MB=MN,

1）证明：CA┴NB，

2）若∠ACB=60，求NB与平面ABC所成角的余弦值。

1)设AM=MN=BN=1

建立空间坐标系,A(-1,0,0),M(0,0,0),B(1,0,0),N(0,0,1),C(0,t,1)(t>0)

向量CA=(-1,-t,-1),向量NB=(1,0,-1)

向量CA*向量NB=(-1,-t,-1)*(1,0,-1)=-1+0+1=0

∴CA⊥NB

2)向量CA=(-1,-t,-1),向量CB=(1,-t,-1)

cos∠ACB=(-1,-t,-1)*(1,-t,-1)/√(t²+2)×√(t²+2)=t²/(t²+2)=1/2

∴t²=2,t=√2,C(0,√2,1)

向量NB=(1,0,-1)

A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,√2,1),则平面ABC方程y-√2z=0,法向量为(1/√3)(0,1,-√2)

向量NB和法向量夹角为(1,0,-1)*(0,1,-√2)/√2×√3=1/√3=√3/3

∴NB和平面ABC所成角余弦值为√(1-(1/√3)²)=√(2/3)=√6/3