解答题如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB，PD

解答题 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB，PD与平面ABCD所成角的正切值依次是1和，AP=2，E，F依次是PB，PC的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥平面AEFD；
（Ⅱ）求直线EC与平面PAD所成角的正弦值．

∵PA⊥平面ABCD，直线AB是PB在平面ABCD内的射影 ∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得Rt△PAB中，tan∠PBA= PA AB =1，可得AB=AP=2 同理，∠PDA是PD与平面ABCD所成的角，得Rt△PAD中，tan∠PDA= PA AD = 1 2 ，可得AD=2AP=4 ∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴AD⊥PA ∵矩形ABCD中，AD⊥AB，且AD∩AP=A，∴AD⊥平面PAB ∵PB?平面PAB，∴AD⊥PB 又∵Rt△PAB中，AB=AP，且E为PB中点，∴PB⊥AE ∵AD、AE是平面AEFD内的相交直线， ∴PB⊥平面AEFD； …（6分） （II）分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 由（I）知AD=4、AB=2，则各点坐标分别是 A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0）， P（0，0，2），

收益了