已知函数y=f(x)的定义域为R，且f(m+x)=f(m-x)恒成立，求证；函数图像关于直线x=m对称

已知函数y=f(x)的定义域为R，且f(m+x)=f(m-x)恒成立，求证；函数图像关于直线x=m对称

因为f(m+x)=f(m-x)恒成立，所以可设f(x)=AX^2+BX+C

那么f(m+x)=A(M+X)^2+(M+X)+C=f(m-x)=A(M-X)^2+(M-X)+C

因为f(m+x)=f(m-x)恒成立，所以化解得2AMX+BX=-2AMX-BX

所以2AMX+BX=0

2AM+B=0

1+B/2AM=0

-B/2A=M

令F(x)=f(x+m); 则F(-x)=f(-x+m)=f(x+m)=F(x); 这说明F(x)是偶函数;偶函数关于直线x=0对称; 则:令X=x+m;则x=X-m;X相对于x移动了m。 ∴F(x)=F(X-m)=f（X）.也就是说，f（X）的对称轴相对于F(x)移动了m。 ∵F(x)关于直线x=0对称， ∴f(x)的图像关于直线x=m对称

1)先证明定义域关于m对称，因为x的定义域为R ，所以定义域关于m对称； （2）证明f关于m对称，令z=x+m,x=z-m,将上式带入的f(x)=f(2m-x),所以y=f(x) 关于x=m对称

证明：要证函数图象关于直线x=m对称，即证对于任意实数x，均有f（x）=f（2m-x） 因为x的范围是R，所以x-m的范围是R，又f（m+x）=f（m-x）对R均成立， 故对x-m成立，所以f[m+（x-m）]=f[m-（x-m）]，即f（x）=f（2m-x），得证

设（X1,Y1)为图像上任意一点

f[m+（X1-m﹚]=f[m-（X1-m﹚]即f(X1)=f(2m-X1)

所以﹙2m -X1， Y1﹚是图像上对应一点

且 任意一点 （X1,Y1) ﹙2m -X1， Y1﹚关于直线x=m对称

所以函数图像关于直线x=m对称