在初二年级中怎样用截长法和补短法解题？

请举例说明

例1 已知：如图1-1所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，

求证：∠A + ∠C = 180°

分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造等腰三角形，可通过“截长补短法”来实现.

证明： 在BC上截取BE=AB，连接DE，再取EC的中点M，连接DM

∵ AB = BE

又 ∵ BD平分∠ABC A D

∴ ∠ABD = ∠EBD

在△ABD与△EBD中,

AB = BE

∠ABD = ∠EBD

BD = BD B E M C

∴△ABD≌△EBD（SAS） 如图1-1

∴ AD = ED ∠A = ∠BED ，

∵AD = DC ， ∴ED = DC ∴∠ C = ∠DEC

∴∠A + ∠C = ∠BED +∠DEC = 180°

例2 已知：如图2-2，AE//BC，AD、BD分别平分ÐEAB、ÐCBA，EC过点D。

求证：AB=AE+BC

分析一：要证AB=AE+BC观察AD、BD是角平分线，因而可将DAED沿A翻折，从而需添加辅助线在AB上截取BF=BC，只需要推证出AF=AE，则可以使问题得以解决，那么如何推证AF=AE成为解决问题产关键。由于DAED、DADB、DBD的内角和都是180°，且ÐEDC=180°，又由于AE//BE，因此ÐE+ÐC=180°从而ÐEAB+ÐCBA=180°，由AD、BD是角平分线，可推出Ð1+Ð4=90°，从而可推证出ÐADB=90°，因而Ð6+Ð8=90°。若能推证出Ð7=Ð8，那么只需要推证出DAED≌DAFD，从而可推证出AE=AF、由于BC=BF，Ð1=Ð2，BD是公共边，因此可推证出DBFD≌DBCD，则Ð5=Ð6，由于Ð5+Ð7=90°因此，Ð6+Ð7=90°，又由于Ð6+Ð8=90°，从而可推出Ð7=Ð8，由此可由AD是公共边，Ð3=Ð4推证出DAED≌DAFD，从而思路畅通，推证出AE=AF，由等量代换可推证出AB=AE+BC。

证明一：在AB上截取BF=BC，连结DF。

∴ BD是ÐABC的平分线，∴Ð1=Ð2

在DBDF和DBDC中

（公共边）

∴DBDF≌DBDC(SAS) 如图2-2

∴Ð5=Ð6（全等三角形对应角相等）

∴Ð3+Ð8+ÐE=Ð4+Ð1+Ð5+Ð7=Ð2+Ð6+ÐC=180°（三角形内角和定理）

∴ÐE+ÐEAB+ÐABC+ÐC+ÐEDC=540°

又∴AE//BC∴ÐE+ÐC=180°（两直线平行同旁互补）

又∵ÐEDC=180°∴Ð1+Ð2+Ð3+ Ð4=180°

∴AD是ÐEAB的平分线 ∴Ð3=Ð4

∴Ð1+Ð4=90° ∴Ð5+Ð7=90°（三角形内角和定理）

∴Ð6+Ð8=90° ∵Ð5=Ð6 ∴ Ð7=Ð8







在DAED和DAFD中

∴DAED≌DAFD (ASA)

∴AE=AF（全等三角形对应边相等）

∵ AF+FB=AB

∴AE=FB=AE+BC=AB

即AB=AE+BC

分析二：延长BC交AD的延长线于F。要证AB=AE+BC，只需要证明BF=AB，只需要推证出CF=AE。而要证CF=AE，只需要推证出含有CF、AE 的两个三角形DAED≌DFCD由于Ð5=6，AE//BC，因此可推出Ð3=ÐF，若要推证出AD=FD，成为解决问题的关键，由于四边形AECB的内角和等于360°，ÐE+ÐBCE=180°，因此可知ÐEAB+ÐCBA=180°，又由于AD、BD是ÐEAB、ÐCBA的平分线，从而可推出Ð1+Ð4=90°，因此ÐADB=90°，则ÐEDB=90°，推到此，他们通过观察图形可根据ASA推证出DABD≌DFBD，从而推证出AD=FD，思路形成。



证明二：如图2-3,延长BC、AD交于F

在DAED、DADB、DBDC中

三个三角形的内角和共为540°（三角形内角和定理）

又∵ÐEDC=180°（平角定义） ∴ÐE+ÐC+ÐEAB+ÐABC=180°

AE//BC ∴ （两直线平行同旁内角互补）

∴Ð3+Ð4+Ð1+Ð2=180°

又∴AD、BD分别是ÐEAB、ÐABC的平分线

∴Ð3=Ð4，Ð1=Ð2（角平分线定义）

∴Ð1+Ð4=90° ∴ÐADB=90°（三角形内角和定理）

∴ÐBDF=90° 在DADB和DBDF中

∴DADB≌DBDF(ASA)

∴AD=FD, AB=FB，Ð4=ÐF（全等三角形对边，对应角相等） 如图2-3

在DAED和DFCD中

∴DAED≌DFCD

∴AE=FC ∵ BF=BC+FC ∴BF=BC+AE ∴AB=AE+BC

例3 已知：如图3-1所示，AD为△ABC的角平分线，AB＞AC,

求证：AB—AC＞BD—DC

分析：欲证AB—AC＞BD—DC，需把AB与AC的差，BD与DC的差或它们相等的量转化为同一个三角形的边，再利用三角形三边的关系加以证明。

证明： 方法一： 截长法

在AB上截取AE = AC，连接ED。 A

∵AD平分∠BAC ∴ ∠BAD = ∠DAC

在△ADE与△ADC中, E

AE = AC

∠EAD= ∠DAC B D C

AD = AD 如图3-1

∴ △ADE≌△ADC （SAS）∴ D E = D C

在△ABD中，BE ＞ BD —DE （三角形两边之差小于第三边）

即 AB—AE＞BD—DC

∴ AB—AC＞BD—DC （等量代换）





方法二： 补短法

延长AC到点E，使AE = AB，连接DE A

∵AD平分∠BAC ∴ ∠BAD = ∠DAC

在△BAD与△EAD中,



AB = AE C

∠BAD = ∠DAC B D E

AD = AD

∴ △ADE≌△ADC （SAS） ∴ D B= D E 如图3-2

在△ABD中， EC ＞DE —DC （三角形两边之差小于第三边）

即 AE—AC＞DE—DC ∴ AB—AC＞BD—DC

例4 已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.

求证：AB=AC+CD.

分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.

证明：方法一（补短法）

延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2

图4-2

∴∠ACB＝2∠E，

∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，

在△ABD与△AED中,


∴△ABD≌△AED（AAS）

,∴AB=AE.

图4-3

又AE=AC+CE=AC+DC，

∴AB=AC+DC.

方法二（截长法）

在AB上截取AF=AC，如图4-3

在△AFD与△ACD中,


∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.

又∵∠ACB＝2∠B， ∴∠FDB＝∠B，

∴FD=FB. ∵AB=AF+FB=AC+FD，

∴AB=AC+CD.