在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为abc且满足(根号2a-c)向量BA.向量BC=c.向量CB.向量CA

答案:2 悬赏:20 手机版

解决时间 2021-11-26 05:15

提问者网友：niaiwoma
2021-11-25 21:50

最佳答案

五星知识达人网友：刀戟声无边
2021-11-25 22:18

1、向量BA.向量BC=|BA|·|BC|cosB=cacosB，同理向量CB.向量CA=abcosC
由已知得，（√2a-c)cacosB=cabcosC
由正弦定理得，（√2sinA-sinC)cosB=sinBcosC
即 √2sinAcosB=sinBcosC cosBsinC=sin(B C)=sinA
所以 √2cosB=1，所以 B=π/4；
2、因为 |向量BA-向量BC|=√6
所以 (|向量BA-向量BC|)^2=(向量BA-向量BC)^2=6
即 c^2 a^2-2cacosB=6
因为 c^2 a^2≥2ac，所以 2ac-√2ac≤6
于是 ac≤3(2 √2)，当且仅当 a=c时取等号
所以 S=1/2acsinB≤1/2*3(2 √2)*√2/2=3(1 √2)/2
当且仅当 a=c时取等号
所以 △ABC的面积的最大值是3(1 √2)/2

全部回答

1楼网友：神的生死簿
2021-11-25 23:38

此题只要根据向量数量积的几何意义一转化就很简单了。
1、向量BA.向量BC=|BA|·|BC|cosB=cacosB，同理向量CB.向量CA=abcosC
由已知得，（√2a-c)cacosB=cabcosC
由正弦定理得，（√2sinA-sinC)cosB=sinBcosC
即 √2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA
所以 √2cosB=1，所以 B=π/4；
2、因为 |向量BA-向量BC|=√6
所以 (|向量BA-向量BC|)^2=(向量BA-向量BC)^2=6
即 c^2+a^2-2cacosB=6
因为 c^2+a^2≥2ac，所以 2ac-√2ac≤6
于是 ac≤3(2+√2)，当且仅当 a=c时取等号
所以 S=1/2acsinB≤1/2*3(2+√2)*√2/2=3(1+√2)/2
当且仅当 a=c时取等号
所以 △ABC的面积的最大值是3(1+√2)/2

我要举报

如以上问答信息为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！