高中数学数列题目

首项为1/4代入方程，得m或n=7/16，暂令m=7/16，解方程另一根为7/4
1、等差数列前二项为1/4，7/4，第三项为13/4，代入方程，n=-65/4,第四根-5/4，不合题意
2、等差数列第一第三项为1/4，7/4，第二项为1，代入方程，n=1，无第四根，不合题意
3、等差数列第一第四项为1/4，7/4，第二第三项为3/4，5/4，代入方程，n=15/16
|m-n|=15/16-7/16=1/2

或者

设a,b,c,d应该分别是方程:
x^2-2x+m=0, x^2-2x+n=0的根.
所以:a+b=c+d=2.
所以不妨假设a<c<d<b,那么就有:
a=1/4, b=7/4.
而根据等差数列的性质,得到:
c=3/4, d=5/4.
所以m=ab=7/16, n=cd=15/16.
所以|m-n|=1/2.

设a,b,c,d应该分别是方程: x^2-2x+m=0, x^2-2x+n=0的根. 所以:a+b=c+d=2. 所以不妨假设a<c<d<b,那么就有: a=1/4, b=7/4. 而根据等差数列的性质,得到: c=3/4, d=5/4. 所以m=ab=7/16, n=cd=15/16. 所以|m-n|=1/2.

使方程（x^2－2x＋m）(x^2－2x＋n)=0，即x^2－2x＋m=0或x^2－2x＋n=0，而两式均为x^2－2x＋c=0

不妨设 x1=1/4是方程x^2－2x＋m=0的一个根（或x^2－2x＋n=0，对结果求 |m－n| 没有影响）

代人解得m=7/16，方程的另一个解:x2=7/4，解方程x^2－2x＋n=0，得 x1`=1-√(1-n), x2`=1+√(1-n)

所以，等差数列可能为:1. 1/4,1-√(1-n), 7/4,1+√(1-n) ， 可知无解

2, 1-√(1-n), 1/4，1+√(1-n)，7/4，根号1-n的解矛盾

3. 1-√(1-n), 1/4,7/4,1+√(1-n)，公差d=3/2, √(1-n)=9/4, n=-65/16

4, 1/4,1-√(1-n), 1+√(1-n) , 7/4, 公当差d=2/4(=1/2), √(1-n)=1/4,n=15/16

综上，m=7/16， n=-65/16 或 n=15/16，（另一种情况m和n值互换)

|m－n| =9/2, |m－n| =1/2

设数列公差为d, 则方程4个根由小到大依次为 1/4+d, 1/4+2d, 1/4+3d , 1/4+4d

设 （x^2－2x＋m）(x^2－2x＋n)=0 四个根为 x1,x2,x3,x4

由韦达定理得:

x1+x2=2....(1) x1*x2=m........(2)

x3+x4=2....(3) x3*x4=n.........(4)

设x1=1/4+d 要满足(1),(3) 则x2=1/4+3d (两个一元二次方程的一次项系数相等,1+3=2+4)

所以x3=1/4+2d x4=1/4+3d

把x1,x2代入(1) 1/4+d+1/4+3d=2 4d=2-1/2 d=3/8

x1=1/4+3/8=5/8 x2=5/8+3/8=8/8 x3=8/8+3/8=11/8 x4=11/8+3/8=14/8

代入(2) : m=8/8*5/8=5/8 代入(4): n=11/8*14/8=154/64=77/32

这里假定了x1,x3是（x^2－2x＋m)=0的根, x2,x4是（x^2－2x＋n）的根.

x1,x3是（x^2－2x＋n)=0的根, x2,x4是（x^2－2x＋m）的根.时,m=77/32 ,n=5/8

所以 |m-n|=77/32-5/8=77/32-20/32=57/32

1/2，由“方程（x^2－2x＋m）(x^2－2x＋n)=0的四个根组成一个首项为1／4的等差数列”可知1/4是方程的一个根，带入方程得，mn-7(m+n)/16+49/256=0。

（x^2－2x＋m）(x^2－2x＋n)=0可得x^2－2x＋m=0，x^2－2x＋n=0，故由两根只和等于-b/a可得四根只和为4，即等差数列只和为4，设公差为d，很容易有等差数列求和公式得d=1/2，得该数列为1/4,3/4,5/4,7/4。注意到m，n分别为方程的两根之集，所以四根之积mn=1/4*3/4*5/4*7/4=105/256。带入上面的mn-7(m+n)/16+49/256=0得，m+n=11/8。|m-n|=根号下（m+n）的平方-4mn=1/2