在数学中什么叫类比法

在数学中什么叫类比法

问题一：类比的数学类比 数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的．类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法．运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：可见，运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象．按寻找类比对象的角度不同，类比法常分为以下三个类型． 将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比．【例2】以棱长为1的正四面体的各棱为直径作球，S是所作六个球的交集．证明S中没有一对点的距离大于1。【分析】考虑平面上的类比命题：“边长为1的正三角形，以各边为直径作圆，S‘是所作三个圆的交集”，通过探索S’的类似性质，以寻求本题的论证思路．如图，易知S‘包含于以正三角形重心为圆心，以为半径的圆内．因此S’内任意两点的距离不大于1以此方法即可获得解本题的思路。证明：如图，正四面体 ABCD中，M、N分别为BC、AD的中点，G为△BCD的中心，MN∩AG=O．显然O是正四面体ABCD的中心．易知OG=·AG=，并且可以推得以O为球心、OG为半径的球内任意两点间的距离不大于，其球O必包含S．现证明如下。根据对称性，不妨考察空间区域四面体OMCG．设P为四面体OMCG内任一点，且P不在球O内，现证P亦不在S内。若球O交OC于T点。△TON中，ON=，OT=，cos∠TON=cos（π-∠TOM)=-。由余弦定理：TN2=ON2+OT2+2ON·OT·=，∴TN=。又在 Rt△AGD中，N是AD的中点，∴GN=。由GN= NT=， OG=OT， ON=ON，得 △GON≌△TON。∴∠TON=∠GON，且均为钝角．于是显然在△GOC内，不属于球O的任何点P，均有∠PON>；∠TON，即有PN>TN=，P点在 N为球心，AD为直径的球外，P点不属于区域S．由此可见，球O包含六个球的交集S，即S中不存在两点，使其距离大于． 某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决．【例3】任给7个实数xk（k=1，2，…，7)．证明其中有两个数xi，xj，满足不等式0≤≤·【分析】若任给7个实数中有某两个相等，结论显然成立．若7个实数互不相等，则难以下手．但仔细观察可发现：与两角差的正切公式在结构上极为相似，故可选后者为类比物，并通过适当的代换将其转化为类比问题．作代换：xk=tanαk（k =l，2，…，7），证明必存在αi，αj，满足不等式0≤tan（αi-αj）≤·证明：令xk=tanαk（k =l，2，…，7），αk∈（-，），则原命题转化为：证明存在两个实数αi，αj∈（-，），满足0≤tan（αi-αj）≤·由抽屉原则知，αk中必有 4个在[0，）中或在（-，0）中，不妨设有4个在[0，）中．注意到tan0=0，tan=，而在[0，）内，tanx是增函数，故只需证明存在αi，αj，使0；αj，则0≤αi-αj ≤，故0≤tan（αi-αj）≤·这样，与相应的xi=tanαi、xj=tanαj，便有0≤≤· 简化类比，就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题，通过类比命题解决思路和方法的启发，寻求原命题的解决思路与方法．比如可先将多元问题类比为少元问题，高次问题类比到......余下全文>>问题二：高中数学，类比法，写出详细解答过程 k(k+2)=1/6[k(k+2)(k+4)-(k-2)k(k+2)]
由此得：
1x3=1/6[1x3x5-(-1)x1x3]
2x4=1/6(2x4x6-0x2x4)
3x5=1/6(3x5x7-1x3x5)
4x6=1/6(4x6x8-2x4x6)
.......
n(n+2)=1/6[n(n+2)(n+4)-(n-2)n(n+2)]
相加得：
1x3+2x4+。。。+n(n+2)
=1/6[-(-1)x1x3-0x2x4+(n-1)(n+1)(n+3)+n(n+2)(n+4)]
=1/6[n(n+1)(2n+7)]问题三：如何在高中数学教学中开展类比法教学 有效的数学教学活动是数学课堂教学改革的重要目标，也是构建素质 教育数学课堂教学模式的关键性环节。 提高数学教学活动的有效性是数学课堂教 学改革的重要内容。为此，我们必须要通过教学反思，积极地转变教育观念，真正确立起与新课程相适问题四：归纳演译类比在小学生活中有什么用 在小学数学教材中有许多法则、公式等，是按照从特殊到一般的认识规律，通过对特例的观察、分析、实验，从而归纳出一般性结论，即归纳法。
类比在数学知识延伸拓展过程中常借助于比较、联想来启发诱导以寻求思维的变异和发散。在归纳知识系统时又可用来串联不同层次的类似内容，帮助理解和记忆。在解决问题时，无论是对于命题本身或解题方法，都是产生猜测、获得命题的推广或引伸的原动力。因此，归纳法和类比法既是数学学习的重要方法，也是数学发现的有效方法。
归纳和类比都属于合情推理，其结论需要演绎证明。猜想是归纳与类比的成果，它们都包含有猜想的成分，所以猜想本身就是一种合情推理，直截了当一点，合情推理就是猜想。牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”因此，合理地设计富有猜想的教学过程，不仅可以很好地组织教学，而且还可以提高学生学习兴趣，培养学生的创新能力。一、归纳法归纳法是通过对同一类事物的特殊对象的研究而得出一般性结论的方法，也就是由特殊到一般的推理方法。
1．归纳法具有发现真理、探索真理的作用
数学中的许多著名定理都是先运用不完全归纳法发现而后给予证明的。
如德国著名数学家哥德巴赫从3+7=10，3+17=20，13+17=30等算式中观察出两个奇素数之和等于一个偶数，他做了进一步的实验，发现
6=3+3，
8=3+5，
10=3+7=5+5，
12=5+7，
14=3+11=7+7，
16=3+13=5+11，
于是，他得出了：任何一个既不是素数也不是素数平方的偶数(即大于4的偶数)，是两个奇素数之和。这就是著名的哥德巴赫猜想，尽管到如今这还是一个猜想，但数学家们在证明这个猜想的过程中，已经发现、发明了许许多多的数学定理，为数学的发展乃至社会的发展作出了巨大的贡献。
2．归纳法在小学数学教育中具有十分重要的意义
小学数学中几乎所有的公式、法则和性质都是通过不完全归纳法来认识。因此，教师应该认真学习《数学课程标准》，吃透教材，给学生思维发散的机会，多引导、多启发、多鼓励，给学生足够的时间和空间，让学生在课堂中逐渐掌握归纳法。如在教学“平均分”时，教师可以给出把若干个苹果分给若干个同学的问题，让学生去解决，给学生提供任凭他们想象发挥的时间和空间，然后再归纳出最公平的分法——每人一样多，从而得出平均分的概念。这不仅培养了学生的发散思维，同时，在这一活动中也让学生更为深刻地理解和掌握了“平均分”的概念。教师在讲解概念、法则、性质、公式和例题时，要让学生从不同侧面、不同角度去联想和推广。又如，在教学长方形时，可以让学生充分发挥他们的想象力，画出各种形状不同、放置位置不同的长方形。然后，引导他们归纳得出这些图形的共同特征：(1)它们都是四边形；(2)四个角都是直角；(3)对边相等。这不但培养了学生的发散思维能力，同时还使学生更深刻地认识了长方形。在教学正方形时，学生就不会产生正方形不是长方形的错误。
不完全归纳法作为“合情推理”，小学生是很容易接受并掌握的。所以，不完全归纳法在小学数学教学中比比皆是。学生对定义、运算性质(定律)、数的整除性特征等知识的学习，无一不是通过不完全归纳法来理解、掌握的。这一得天独厚的氛围，对培养小学生的归纳能力带来了极大的便利。所以，在小学数学教学中，不完全归纳法被认为是培养小学生创造性思维能力的一项行之有效的重要方法。教师要抓住这一优势，帮助小学生掌握不完全归纳法。让学生充分发挥他们的想象力，让他们自己提出问题，大胆猜想，突破一般思维定势，敢于猜想。同时，还应......余下全文>>问题五：数学思想的类比思想 把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。