求解一个微积分的证明题目

若函数f（x）在【0，1】上存在二阶导数，且f（0）=f（1）=0，且min f（x)=-1，则存在ξ∈（0，1）使得|f ‘ ’（ξ）|≥4。

设f(h)=-1

taylor展开：f(x)=f(h)+f`(h)(x-h)+f''(ξ)x^2/2, 由于f(h)为极值，所以f`(h)=0中间项可以去掉

f(x)=f(h)+f''(ξ)x^2/2 当h属于(0,1/2]时，将x=0代入，则f''(ξ)=8/h`2大于等于8

当h属于(1/2,1)时，将x=1代入，则f''(ξ)=8/(1-h)`2大于等于8

综上，f''(ξ）大于等于8

f(x)=f(0)+f'(0)x+f"(ξ)x^2/2=f'(0)x+f''(ξ)x^2/2

f(1)=f'(0)+f''(ξ）/2=0 所以f'(0)=-f''(ξ)/2

f(x)=f''(ξ)/2*(x^2-x)

/f(1/2)/=/-1/8f''(ξ)/=1/8f''(ξ)>=1

/f''(ξ)/>=8