已知抛物线C 1 的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线C 2 ： x 2 a 2 - y 2

已知抛物线C 1 的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线C 2 ： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 的一个焦点F 1 且垂直于C 2 的两个焦点所在的轴，若抛物线C 1 与双曲线C 2 的一个交点是 M( 3 2 ， 6 ) ．（1）求抛物线C 1 的方程及其焦点F的坐标；（2）求双曲线C 2 的方程．

解一：（1）由题意可设抛物线C 1 的方程为y 2 =2px．（2分）
把 M(
3
2 ，


6 ) 代入方程为y 2 =2px，得p=2（4分）
因此，抛物线C 1 的方程为y 2 =4x．（5分）
于是焦点F（1，0）（6分）
（2）抛物线C 1 的准线方程为y=-1，
所以，F 1 （-1，0）（7分）
而双曲线C 2 的另一个焦点为F（1，0），于是 2a=|M F 1 -MF|=|
7
2 -
5
2 |=1
因此， a=
1
2 （9分）
又因为c=1，所以 b 2 = c 2 - a 2 =
3
4 ．
于是，双曲线C 2 的方程为
x 2

1
4 -
y 2

3
4 =1 ．（12分）
解二：（1）同上（6分）
（2）抛物线C 1 的准线方程为y=-1，
所以，F 1 （-1，0）
而双曲线C 2 的另一个焦点为F（1，0），
∵点 M(
3
2 ，


6 ) 在双曲线上，∴








9
4
a 2 -
6
b 2 =1
a 2 + b 2 =1 ∴
9
4 a 2 -
6
1- a 2 =1
∴4a 4 -37a 2 +9=0
∴a 2 =9（舍去）或 a 2 =
1
4 ，从而 b 2 =
3
4
∴双曲线方程为
x 2

1
4 -
y 2

3
4 =1 （12分）

双曲线焦点为 （±√2，0）， 所以 抛物线中 p/2=√2，2p=4√2， 方程为 y^2=±4√2*x。