a.b.c.d.为互不相等的整数,多项式f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-25有整数根,求证:4|a+b+c+d

希望详细些

设整数根为t,则a.b.c.d.t均为整数﹐相应的(t-a)﹑(t-b)﹑(t-c)﹑(t-d)也都为整数
那么f(t)=(t-a)(t-b)(t-c)(t-d)-25=0 (t-a)(t-b)(t-c)(t-d) =25
4个整数的乘积为25﹐那么这4个整数可能性为
1)1﹑1﹑5﹑5
此时(t-a)+(t-b)+(t-c)+(t-d)=12 得a+b+c+d=4t -12被4整除
2)1﹑1﹑-5﹑-5
此时(t-a)+(t-b)+(t-c)+(t-d)=-8 得a+b+c+d=8+4t被4整除
3)-1﹑-1﹑-5﹑-5
此时(t-a)+(t-b)+(t-c)+(t-d)=-12 得a+b+c+d=12+4t被4整除
4)-1﹑-1﹑5﹑5
此时(t-a)+(t-b)+(t-c)+(t-d)=8 得a+b+c+d=4t -8被4整除
5)-1﹑1﹑5﹑-5
此时(t-a)+(t-b)+(t-c)+(t-d)=0 得a+b+c+d=4t被4整除
综上可得
4|a+b+c+d

令g(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，则：f'(k)=g(k) 则f(x)=(x-d)g(x) f'(x)=g(x)+(x-d)g'(x) 所以，f'(k)=g(k)+(k-d)g'(k)=g(k) 则：(k-d)g'(k)=0 得：k=d 或 g'(k)=0 g'(x)=3x²-2(a+b+c)x+ab+ac+bc 则：3k²-2(a+b+c)k+ab+ac+bc=0 △=4(a+b+c)²-12ab-12ac-12bc =4a²+4b²+4c²-4ab-4ac-4bc =2(a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+a²-2ac+c²) =2(a-b)²+2(b-c)²+2(a-c)² 因为a,b,c互不相等 所以，△=2(a-b)²+2(b-c)²+2(a-c)²>0 所以，k=[2(a+b+c)±2√(a²+b²+c²-ab-ac-bc)]/6 即：k=[(a+b+c)±√(a²+b²+c²-ab-ac-bc)]/3 综上，k=d或k=[(a+b+c)±√(a²+b²+c²-ab-ac-bc)]/3 祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！o(∩_∩)o

整数x使得（x-a)(x-b)(x-c)(x-d)＝25＝1*1*5*5 要把25拆成4个不同的整数相乘。只有一个办法。（-1）*（1）*（5）*（-5） 所以（x-a）+(x-b)+(x-c0+(x-d) =0 a+b+c=d =4x 证毕