导数与微分有何关系？

导数与微分有何关系？

两者是互逆关系

微分是指一种方法，导数可以理解为就是无限的微分

它俩从大的方面讲没有太多关系。但是微分多用于物理问题研究中。

导数物理，数学中均有应用。

高中内应该可以理解为导数就是无限的微分。

一元微分 定义 设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为 Δy = AΔx0 + o(Δx0)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。 通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。 几何意义 设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。 多元微分 同理，当自变量为多个时，可得出多元微分得定义。 导数（derivative）亦名微商，由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。又称变化率。如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米／小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米／小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置x与时间t的关系为x＝f（t），那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t2)/t1-t2]，当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 ，自然就把极限[f(t1)-f(t2)/t1-t2] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。一般地，假设一元函数 y＝f(x )在 x0点的附近(x0－a ，x0 ＋a)内有定义，当自变量的增量Δx＝ x－x0→0时函数增量 Δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率)。若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f′，称之为f的导函数，简称为导数。函数y＝f（x）在x0点的导数f′（x0）的几何意义：表示曲线l 在P0〔x0，f（x0）〕 点的切线斜率。 导数是微积分中的重要概念。导数定义为，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。 物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。 求导数的方法 （1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤： ① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ② 求平均变化率 ③ 取极限，得导数。 （2）几种常见函数的导数公式： ① C'=0(C为常数)； ② (xn)'=nxn-1 (n∈Q)； ③ (sinx)'=cosx； ④ (cosx)'=-sinx； ⑤ (ex)'=ex； ⑥ (ax)'=axlna （3）导数的四则运算法则： ①(u±v)'=u'±v' ②(uv)'=u'v+uv' （4）复合函数的导数 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数

导数就是 线上 一个点的 切线的斜率 微分就是原函数上 各点斜率的函数

可微->可导：

若y=ƒ(x)在点x0处可微

由微分定义知，Δy=ƒ(x0+Δx)-ƒ(x0)=AΔx+o(Δx)，

Δy/Δx=(ƒ(x0+Δx)-ƒ(x0))/Δx=(AΔx+o(Δx))/Δx=A+o(Δx)/Δx，

Δx->0,lim o(Δx)/Δx=0

所以Δx->0,lim Δy/Δx=(ƒ(x0+Δx)-ƒ(x0))/Δx=A

所以y=ƒ(x)在点x0可导,且ƒ(x)在点x0处的导数为A。

可导->可微:

若y=ƒ(x)在点x0处可导

则Δx->0,lim Δy/Δx=(ƒ(x0+Δx)-ƒ(x0))/Δx =ƒ(x)在点x0处的导数。

由极限与无穷小量的关系知：

Δy/Δx=(ƒ(x0+Δx)-ƒ(x0))/Δx = ƒ(x)在点x0处的导数 + a

其中Δx->0,lim a = 0,所以

Δy=ƒ(x0+Δx)-ƒ(x0)=ƒ(x)在点x0处的导数*Δx + aΔx

又因Δx->0,lim aΔx/Δx=0

所以aΔx是比Δx高阶的无穷小量，完全符合微分的定义。