关于堆栈可能性数量的数学问题

关于堆栈可能性数量的数学问题

原理: 令h(1)＝1，catalan数满足递归式：
h(n)= h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1) (其中n>=2)
该递推关系的解为：h(n)=c(2n-2,n-1)/n (n=1,2,3,...)

推导过程如下:
问题的由来：编号为 1 到 n 的 n 个元素，顺序的进入一个栈，则可能的出栈序列有多少种？

对问题的转化与思考：n 个元素进栈和出栈，总共要经历 n 次进栈和 n 次出栈。这就相当于对这 2n 步操作进行排列。问题等价于：n个1和n个0组成一2n位的2进制数，要求从左到右扫描，1的累计数不小于0的累计数，试求满足这条件的数有多少？

解答： 设P2n为这样所得的数的个数。在2n位上填入n个1的方案数为 C（n 2n）不填1的其余n位自动填以数0。从C（n 2n）中减去不符合要求的方案数即为所求。不合要求的数指的是从左而右扫描，出现0的累计数超过1的累计数的数。不合要求的数的特征是从左而右扫描时，必然在某一奇数2m+1位上首先出现m+1个0的累计数，和m个1的累计数。此后的2（n－m）－1位上有n－m个1，n－m－1个0。如若把后面这部分2（n－m）－1位，0与1交换，使之成为n－m个0，n－m－1个1，结果得1个由n＋1个0和n－1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n－1个0和n＋1个1组成的一个排列。反过来，任何一个由n＋1个0，n－1个1组成的2n位数，由于0的个数多2个，2n是偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面的部分，令0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数。即n＋1个0和n－1个1组成的2n位数，必对应于一个不合要求的数。

用上述方法建立了由n＋1个0和n－1个1组成的2n位数，与由n个0和n个1组成的2n位数中从左向右扫描出现0的累计数超过1的累计数的数一一对应。

例如 1010 0 101是由4个0和4个1组成的8位2进制数。但从左而右扫描在第5位出现0的累计数3超过1的累计数2，它对应于由3个1，5个0组成的10100010。反过来 10100010对应于 10100101

因而不合要求的2n位数与n＋1个0，n－1个1组成的排列一一对应，故有P2n ＝ C（n 2n）— C（n＋1 2n）