在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1

1.证明数列{an-n}是等比数列

2.求数列{an}的前n项和Sn

3.证明不等式Sn+1《4Sn，对任意n属于N成立

解（1 ）    因为a（n+1）-(n+1)=4(an-n)

        所以   [ a（n+1）-(n+1)]/(an-n) =4

    所以  数列{an-n}是以a1-1为首项，公比为4的等比数列

    所以 an= （a1-1）×4^(n-1)+n=4^(n-1)+n

 （2）又上式可得

    Sn=an+a(n-1)+.......+a2+a1

    =[4^(n-1)+n]+[4^(n-2)+n-1]+....+[4^1+2]+[4^0+1]

    =(1/3)(4^n-1)+n(n+1)/2

  ( 3)    因为  a（n+1）=4an-3n+1

    所以  S(n+1) =  a（n+1）+an+a(n-1)+.......+a3+a2+a1

    =[4an-3n+1]+[4a(n-1)-3(n-1)+1]]+[4a(n-2)-3(n-2)+1]+....+[4a2-3×2+1]+[4a1-3×1+1]+2

    =4[an+a(n-1)+.......+a2+a1]-3[n+(n-1)+....+2+1]+n(1+1)/2+2

    =4Sn-3n(n+1)/2+n+2

    =4Sn-[3n(n+1)/2-n-2]

    =4Sn-(3n^2+n-4)/2

    即S（n+1）=4Sn-(3n^2+n-4)/2

  所以  4Sn-S（n+1）=(3n^2+n-4)/2

    因为任意n属于N，都有3n^2+n-4≥0

  所以4Sn-S（n+1）≥0

    即4Sn≥S（n+1）

所以    S（n+1）《4Sn    对任意n属于N成立