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高斯是怎样用圆规和尺子画正17边形的

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解决时间 2021-01-16 23:18
高斯是怎样用圆规和尺子画正17边形的
最佳答案
将你要画的正17边形的边长为d,它的外接圆的半径为R。
则d和R的关系是Sin(360度/(17*2))=d/(2R)
正17边形的边对应的圆心角度数为360/17,正17边形的一条边和其两个端点与圆心连接的半径成为一个等边三角形;
然后从圆心作出一条垂线到边上,就能得出一个直角三角形,圆心的那个角是圆心角的一半,即360度/(17*2),对边是d/2,斜边是R,所以得出Sin(360度/(17*2))=d/(2R)

最后,根据该公式,如果你想画出一个边长为1厘米的正17边形,则把d=1代入公式,得出R的值。
1、先画一个R半径的圆;
2、用圆规支脚支在圆周的一个点上,取d为半径,交圆周于一点,然后把这两点连起来,就是17边形的一条边了;
3、如此类推,把17条边画完就是一个正17边形了
祝福你 ъǎò/qq 回答采纳率:25.0% 2009-04-28 10:19 检举 你觉得这个答案好不好?好(0)不好(0) 关于正十七边形的画法(高斯的思路^_^):
有一个定理在这里要用到的:
若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来,那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的,
其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。
上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候,做出长为sqrt(a^2-4b)的线段。
而要在一个单位圆中做出正十七边形,主要就是做出长度是cos(2pai/17)的线段。
下面我把当年高斯证明可以做出cos(2pai/17)的证明给出,同时也就给出了具体的做法。
设a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16pai/17)]>0
a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
则有a+a1=-1,a*a1=-4,即a,a1是方程x^2+x-4=0的根,所以长为|a|和|a1|的线段可以做出。
令b=2[cos(2pai/17)+cos(8pai/17)]>0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]<0
c=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)]>0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
则有b+b1=a b*b1=-1 c+c1=a1 c*c1=-1
同样道理,长度是|b|,|b1|,|c|,|c1|的线段都可以做出来的。
再有2cos(2pai/17)+2cos(8pai/17)=b [2cos(2pai/17)]*[2cos(8pai/17)]=c
这样,2cos(2pai/17)是方程x^2-bx+c=0较大的实根,
显然也可以做出来,并且作图的方法上面已经给出来了
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