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在双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)中,

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解决时间 2021-03-09 07:57
在双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)中,
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右顶点设为M(a,0) A(x1,y1) B(x2,y2)显然AMB是个直角三角形;向量MA=(x1-a,y1) 向量MB=(x2-a,y2)点乘为0 于是(x1-a)(x2-a)+y1y2=0;也就是x1x2-√3(x1+x2)+y1y2+3=0;①直线方程为y=kx+m将直线方程带入曲线方程得到(1-3k²)x²-6kmx-3m²-3=0;x1x2=-3(m²+1)/(1-3k²)x1+x2=6km/(1-3k²)y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k²x1x2+km(x1+x2)+m²=(m²-3k²)/(1-3k²);带入方程①得到-3(m²+1)/(1-3k²)-√3*6km/(1-3k²)+(m²-3k²)/(1-3k²)+3=0;化简得到m²+3√3km+6k²=0;(m+√3k)(m+2√3k)=0解得,m=-√3k 或者-2√3km=-√3k时 直线就是y=k(x-√3)恒过点(√3,0),与右顶点重合,故舍去;m=-2√3k时 直线就是y=k(x-2√3)恒过点(2√3,0);综上,定点坐标就是(2√3,0) 在双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)中,过焦点垂直于实轴的弦长为(2√3)/3,焦点到以求得该双曲线的方程为x²/3-y²=1;(2)若直线L:y=kx+m(m≠0,k≠0)与双曲线C交于A、B两点(A、B不是左右顶点)且以AB为直径的圆过双曲线C的右顶点,求证:直线L过定点,并求出该定点的坐标(图1)答案网 www.Zqnf.com 答案网 www.Zqnf.com
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