维纳过程的一维维纳过程的性质

维纳过程的一维维纳过程的性质

对任意的正实数，一维维纳过程在时刻是一个随机变量，它的概率密度函数是：
这是因为按照维纳过程的定义，当时，可以推出的分布：
它的数学期望是零： 它的方差是：
在维纳过程的独立增量定义中，令，，那么和是相互独立的随机变量，并且
所以两个不同时刻，与的协方差和相关系数是： 维纳过程中的即时最大值与的联合概率分布是：
而即时最大值的分布是对的积分：
即时最大值的数学期望是：
由于维纳过程上下对称，即时最小值显然是即时最大值的相反数。 将一个维纳过程不断按比例展开，它的一部分就会呈现另一个维纳过程的样子 尺度不变性：对任意的正实数，随机过程都仍然是一个维纳过程。 时间反转：对任意的正实数，随机过程和性质相同。 空间对称：随机过程也是一个维纳过程。 时间反演：随机过程也是一个维纳过程。 时间平移不变性和马尔可夫性质
维纳过程具有马尔可夫性质，也就是说，在任意一点之后的走势仅仅和这一点的取值相关，而与之前的取值无关。也就是说，对任何的有界连续函数，
因此维纳过程具有时间平移不变性：随机过程也是一个维纳过程。不仅如此，维纳过程还满足强马尔可夫性质：对任意的有限停时，随机变量独立于滤波。也就是说，对任何的有界连续函数，
维纳过程的强马尔可夫性质，说明即便给定的时间不是定时而是一个停时，维纳过程在停时之后的走势仍然与之前无关。所以，将停时之后的维纳过程上下反转，仍然会是一个维纳过程。用数学语言来说，就是：给定一个停时之后，随机变量：也是一个维纳过程。这个性质也称为维纳过程的反射原理。
作为推论，可以建立即时最大值与的另一种关系。设有正实数停时，那么。运用反射原理可以证明，。更一般地，设有 ，则。