设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为的数λ1，…，λm和k1，…，

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解决时间 2021-02-21 01:29

提问者网友：别再叽里呱啦
2021-02-20 22:12

最佳答案

五星知识达人网友：山有枢
2021-02-20 22:43

因为：若存在两组不全为的数λ1，…，λm和k1，…，km，使（λ1+k1）α1+…+（λm+km）αm+（λ1-k1）β1+…+（λm-km）βm=0，整理得：λ1（α1+β1）+…+λm（αm+βm）+k1（α1-β1）+…+km（αm-βm）=0．因为 λ1，…，λm，k1，…，km 不全为零，所以：α1+β1，…，αm+βm，α1-β1，…，αm-βm 线性相关，故选项D正确．事实上，剩余几个选项都是错误的．取m=2，下面举出反例来说明A、B均为错误的，对于选项A：取β1，β2线性无关，α1，αm线性相关，且满足α2=-α1．若取λ1=k1=λ2=k2=1，则：（λ1+k1）α1+（λ2+k2）α2+（λ1-k1）β1+（λ1-k1）βm =2α1+2α2+0+0=0，但β1，β2线性无关，故选项A错误．对于选项B：取β1，β2线性无关，α1，αm线性相关，且满足α2=-α1．若取λ1=k1=λ2=k2=1，则：（λ1+k1）α1+（λ2+k2）α2+（λ1-k1）β1+（λ1-k1）βm =2α1+2α2+0+0=0，但α1，α2线性相关，故选项B错误．下面，利用反正法叙述C是错误的．倘若选项C正确，即：α1+β1，…，αm+βm，α1-β1，…，αm-βm线性无关，则对应任意常数k1，…，k2m，如果：k1（α1+β1）+…+km（αm+βm）+km+1（α1-β1）+…k2m（αm-βm）=0，则有：k1=…=k2m=0，而又由已知条件：（λ1+k1）α1+…+（λm+km）αm+（λ1-k1）β1+…+（λm-km）βm=0，化简得：λ1（α1+β1）+…+λm（αm+βm）+

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1楼网友：不如潦草
2021-02-21 00:13

谢谢解答

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