120以内有10个正约数的自然数有几个

120以内有10个正约数的自然数有几个

10=2×5=（1+1）×（4+1），
所以有10个正约数，说明有2个质因数a和b，这个自然数c=a^4×b，有如下几种情况：
2^4×3=48， 2^4×5=80，2^4×7=112，
48、80、112这三个自然数有10个正约数。

10=2*5，
设120>=a^s*b^r有10个正约数，a,b为质数，a2^4=16,120/16<7,
小于7，且大于2的质数有3,5，
所以所求的自然数是48,80，共2个。

设这个数为x，x分解质因数为以下情况，其中a1,a2,a3,a4为自然数，由正约数个数定律可知
1）x=2^(a1）*3^(a2）<=120
且（a1+1）*（a2+1）>=10
解出a1=4，a2=1，数为48
或a1=5，a2=1，数为96
或a1=2，a2=3，数为108
或a1=3，a2=2，数为72
2）x=2^(a1）*5^(a2）<=120
且（a1+1）*（a2+1）>=10
解出a1=4，a2=1，数为80
3）x=2^(a1）*7^(a2）<=120
且（a1+1）*（a2+1）>=10
解出a1=4，a2=1，数为112
4）x=2^(a1）*3^(a2)*5^(a3)<=120
且（a1+1）*（a2+1）*（a3+1）>=10
解出a3=1，a2=2,a1=1，数为90
或a3=1,a2=1,a1=2，数为60
或a3=1,a2=1,a1=3，数为120
5）x=2^(a1）*3^(a2)*7^(a3)<=120
且（a1+1）*（a2+1）*（a3+1）>=10
解出a3=1，a2=1,a1=2，数为84
7）x=2^(a1）*3^(a2)*5^(a3)*7^(a4）<=120
且（a1+1）*（a2+1）*（a3+1）>=10
解出无解
综合上述,符合条件的有10个，分别是：
48，96，108，72，80，112，90，60，120，84
如果只是求只有10个正约数的话，就只有3个数，48，80，112