平面的法向量已知平面α内有三点A(-2,0,3)B(1,-4,1)C(0,3,6)及向量a=(3,4

平面的法向量已知平面α内有三点A(-2,0,3)B(1,-4,1)C(0,3,6)及向量a=(3,4

向量AB=(1,-4,1)-(-2,0,3)=(3,-4,-2)；向量AC=(0,3,6)-(-2,0,3)=(2,3,3).向量AB∈α,向量AC∈α,设 n=(x,y,z)为平面α的一个法向量,∵向量n⊥α,∴向量n⊥向量AB,向量n⊥向量AC.即,向量 n.向量AB=0,向量n.向量AC=0.即,(x,y,z).(3,-4,-2)=0.3x-4y-2z=0.(x,y,z).(2,3,3)=0,2x+3y+3z=0.另z=3,则,3x-4y-6=0 (1),2x+3y+9=0 (2).联解之,得：x=-18/17,y=-39/17.∴向量n=(-18/17,-39/17,3) 又已知向量 a=(3,4,5).向量a.向量n=(3,4,5).(-18/17,-39/17,3)=-54/17-156/17+15=45/17.|向量a|=√(3^2+4^2+5^2)=5√2.|向量n|=√[(-18/17)^2+(-39/17)^2+3^2]=(√4446)/17.设向量a与向量n的夹角为,则,cos=a.n/|a|.|n|=(45/17)/{(5√2)*[√4446)/17]}=(45√2223)/(10*2223).∴cos =9√2223/4446.======以下答案可供参考======供参考答案1:向量AB=（3，-4，-2），向量BC=（-1，7，5），向量AC=（2，3，3）假设法向量为d=（x,y,z）则由方程组： 3x-4y-2z=0 ,-x+7y+5z=0, 2x+3y+3z=0随便挑出2个比如是第一个和第二个，假设x=1，可以得到y=13/6,z=-17/6.即法向量为d=(1，13/6，-17/6)，由余弦公式可以得到。供参考答案2:会求平面的一个法向量吧。设其法向量（X,Y,Z），则向量AB与之积为0，向量BC与之积为0，得出三元二式方程组。假设X的值，假设一个好算的，然后就可以得到其法向量，向量之间求余弦会求吧。。这个不用图。图也不好画。。

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