函数任意阶连续可导，且存在一点在该点上函数任意阶导数为0，求证是常函数 注：直接使用泰勒级数可能陷

函数任意阶连续可导，且存在一点在该点上函数任意阶导数为0，求证是常函数
注：直接使用泰勒级数可能陷入循环论证，除非你能说明泰勒级数与原函数是一一对应的

“函数任意阶连续可导，且存在一点在该点上函数任意阶导数为0，求证是常函数。” 是一个错误的命题，有例为证：
　　　 f(x) = e^(-x²)，x≠0，
　　　　　= 0，x=0，
有任意阶导数，且在 x=0 的各阶导数均为 0，但明显的该函数非常函数。

有. 但f(x)的泰勒级数未必收敛于函数f(x)，那么这样的泰勒级数也没有讨论的意义，所以从函数f(x)的泰勒级数是否收敛于f(x)这个角度来说，函数只有“可导”的条件是不足以保证泰勒级数存在的. 例如f(x)＝ e^(-1/x^2)，x≠0 0，x＝0 函数f(x)在x＝0处的函数值是0，任意阶导数也存在，都是0，所以f(x)在x＝0处的泰勒级数是：0＋0×x＋0×x^2＋……＋0×x^n＋……，很显然，泰勒级数不收敛于f(x). 所以要保证函数f(x)在x0处的泰勒级数在(x0-r,x0+r)内收敛于f(x)需要的条件是f(x)在x0处的泰勒公式的余项一致收敛于0