已知椭圆C:X^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的上顶点为A,左右焦点为F1，F2,且椭圆过P(4/3，b/3)

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解决时间 2021-02-09 06:26

提问者网友：沉默的哀伤
2021-02-09 01:15

以AP为直径的圆恰好过F2
若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为定值？若存在，求两定点坐标；若不存在，请说明理由

我已求出C:X^2/2+y^2=1

最佳答案

五星知识达人网友：低音帝王
2021-02-09 01:42

解：(1)因为椭圆过点P(4/3，b/3),所以16/9a2+1/9=1,解得a2=2,
又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.所以AF2垂直于F2P,即-b/c*（b/3）/[4/3-c]=-1, b^2=c(4-3c).
而b^2=a^2-c^2=2-c^2,所以c^2-2c+1=0,解得c^2=1,
故椭圆C的方程是x2/2+y2=1.
(2)①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，代入椭圆方程得
(1+2k2)x2+4kpx+2p2－2=0.
因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以
△=16k2p2－4(1+2k2)(2p2－2)=8(1+2k2―p2)=0，
即 1+2k2=p2.
设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则
|ks+p|/根号（k2+1）*|kt+p|/根号（k2+1）=|k2st+kp(s+t)+p2|/（k2+1）=1,
即(st+1)k+p(s+t)=0(*)，或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (**).
由(*)恒成立,得st+1=0，s+t=0.
解得s=1，t=-1,或s=-1，t=1,
而(**)不恒成立.
②当直线l斜率不存在时，直线方程为x=土根号2时，
定点(－1，0)、F2(1，0)到直线l的距离之积d1 d2=(根号2－1)(根号2+1)=1.
综上所述，存在二个定点是（-1，0），（1，0），使其到直线l的距离之积为定值是1。

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1楼网友：愁杀梦里人
2021-02-09 02:28

（1）若s△pf1f2=s△paf2，则 f1f2=f2a 2c=a-c a=3c e=c/a=1/3 (2)若s△pf1f2=s△paf2=s△pbf1 则f1p到f2，到b的距离相等。设f1=（--c,0） f2=(c,0) a=(3c,0) b=(0,b) b^2=8c^2 直线f1p方程：(y-0)/(x+c)=k kx-y+ck=0 用点到直线的距离公式，得：kc-0+ck=+-(0*k-b+ck) 取+ p不在第一象限，取--，2ck=b-ck k=b/3c=(2根2)/3 （3）设f1=（--c,0） f2=(c,0) a=(a,0) b=(0,b) a^2=b^2+c^2 直线f1p的斜率为k，方程：(y-0)/(x+c)=k kx-y+ck=0 用点到直线的距离公式,得： f2到直线距离（kc-0+ck)/根（k^2+1） b到直线距离 -(0*k-b+ck) /根（k^2+1）则s△paf2/s△pf1f2=(a-c)/(2c)，s△pf1f2/s△pbf1=(2ck)/(b-ck) 那么 (a-c)/(2c)=(2ck)/(b-ck) 4c/(a-c)+1=(b-ck)/(ck)+1 (a+3c)/(a-c)=b/ck k=b(a-c)/c(a+3c) 此处可假定c=1 因为已知1/4≤e＜1 即 1/4≤1/a＜1 4>=a>1 b^2=a^2-c^2=a^2-1>1-1 b^2<=16-1 0

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