高一数学00

已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=Sn*S(n-1)(n>=2,Sn<>0) a1=2/9.求证{1/Sn}为等差数列求满足an>a(n-1)的自然数n的集合。

an=Sn-S(n-1)
an=Sn×S(n-1)(n≥2，Sn≠0)
1/S(n-1)-1/Sn=1
S1=a1=2/9
1/S1=9/2
1/Sn=9/2-(n-1)=11/2-n
Sn=2/(11-2n)
an=Sn-S(n-1)=2/(11-2n)-2/(13-2n)=4/[(11-2n)(13-2n)](n≥2)
a(n-1)=4/[(13-2n)(15-2n)](n≥3)
an/a(n-1)=(15-2n)/(11-2n)=1+4/(11-2n)>1
4/(11-2n)>0
n<11/2
n={3，4，5}
又a5=4/3，a6=-4，a7=4/3
n=7，满足an>a(n-1).
∴满足an>a(n-1)的n值为{nl3，4，5，7}

1/Sn-1/Sn-1=(Sn-1-Sn)/(Sn*Sn-1)=-an/an=-1

所以1/Sn是公差是-1的等差数列。

S1=2/9

1/Sn=2/9-(n-1)=11/9-n

Sn=1/(11/9-n)

Sn-1=1/(20/9-n)

an=1/(11/9-n)(20/9-n)=81/(11-9n)(20-9n)

an>a(n-1)

81/(11-9n)(20-9n)>81/(20-9n)(29-9n)

20-9n>0  n<20/9   n=0,1,2(这里自然数是包括了0）时

1/(11-9n)>1/(29-9n)    n=0，1

20-9n<0时n>20/9   n>=3

1/(11-9n)<1/(29-9n)  

29-9n>0  时，n<29/9时，  1/(11-9n)<0   所以成立，n=3

1/(29-9n)<0时，(11-9n)<(29-9n)<0   1/(11-9n)<1/(29-9n)

所以是除了2的自然数集合。

an=Sn*S(n-1)=Sn-S(n-1)

两侧同时除以Sn*S(n-1)

即可得到1=1/S（n-1)-1/Sn

所以1/Sn-1/S(n-1)=-1=常数

所以1/Sn是等差数列，且1/S1=1/a1=9/2

所以1/Sn=9/2+(n-1)(-1)=11/2-n    所以Sn=1/(11/2-n)    S(n-1)=1/(13/2-n)

代入an=Sn*S(n-1)=1/(11/2-n) *1/(13/2-n)

剩下寻找n的集合就容易多了