如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，AC和BD不相等

如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，AC和BD不相等

由 △ACP∽△PDB
可得 AC/PC=PD/BD
又 △PCD是等边三角形
故 PC=CD=PD
∴AC:CD=CD:BD
∴CD^2=AC*BD
∴当AC,CD,BD满足CD^2=ACxBD时，△ACP∽△PDB
由 △ACP∽△PDB 可知 ∠A=∠DPB
又 ∠DCP=60°=∠A+∠CPA=∠DPB+∠CPA
∴ ∠APB=∠DPB+∠CPA+∠DPC=60°+60°=120

例3．（河南省）如图，点c、d在线段ab上，△pcd是等边三角形。 　　（1）当ac、cd、db满足怎样的关系时，△acp∽△pdb？ 　　（2）当△acp∽△pdb时，求∠apb的度数。 　　考点：相似三角形的判定及性质。 　　评析：本题是一个探索型的，它给出了一个条件，让你自己再添加一个条件，可使两个三角形相似，因此，首先想到相似的判定方法，因又限制了三条边关系，所以是以应边就成比例。当相似了对应角相等，易求 。 　　答案：解：（1）∵ △pcd是等边三角形，　　　 　　∴ ∠pcd=∠pdc=60°，pd=pc=cd， 　　从而∠acp=∠pdb=120° 　　∴ 当 时，△acp∽△pdb 　　即 当cd²=ac·bd时，△acp∽△pdb 　　（2）当△acp∽△pdb时，∠apc=∠pbd. 　　∴ ∠apb=∠apc+∠cpd+∠dpb 　　=∠pbd+60°+∠dpb 　　=60°+60°=120°.