△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大内角为钝角，①求最大角的余弦值； ②求以此最大角为内角，夹此

△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大内角为钝角，①求最大角的余弦值； ②求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．

（1）设△ABC的三边a、b、c的长度分别为n-1、n、n+1（n∈N * 且n＞1），
∵（n-1）+n＞n+1，∴n＞2，得n是大于3的整数
∵△ABC是钝角三角形，可得∠C为钝角，有cosC＜0，
由余弦定理得：（n+1） 2 =（n-1） 2 +n 2 -2n（n-1）?cosC＞（n-1） 2 +n 2 ，
即（n-1） 2 +n 2 ＜（n+1） 2 ?n 2 -4n＜0?0＜n＜4，
因此，整数n的值为3，可得△ABC三边长分别为2，3，4．
∵cosC=
a 2 + b 2 - c 2
2ab =
4+9-16
2×2×3 =-
1
4
∴最大角的余弦值为-
1
4
（2）由（1）得，最大角C的正弦为sinC=


1-co s 2 C =



15
4 ，
设夹角C的平行四边形两边分别为m、n，
∵m+n=4，∴mn≤ (
m+n
2 ) 2 =4，当且仅当m=n=2时，mn的最大值为4
因此，平行四边形的面积S=mnsinC=



15
4 mn≤



15
4 ×4=


15
∴当平行四边形两边都等于2时，夹角C的平行四边形面积最大值为


15 ．

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