证明不等式：ex≥x+1≥sinx+1（x≥0）
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解决时间 2021-12-29 08:28
- 提问者网友：斑駁影
- 2021-12-28 19:15
证明不等式：ex≥x+1≥sinx+1（x≥0）．
最佳答案
- 五星知识达人网友：慢性怪人
- 2021-12-28 19:43
证明：令f（x）=ex-x-1，x＞0，
则f′（x）=ex-1＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．
∴对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞f（0），
而f（0）=e0-0-1=0，∴f（x）＞0，
即ex＞x+1．
令g（x）=x-sinx，x≥0，
g'（x）=1-cosx≥0，
∴g（x）min=g（0）=0-sin0=0，
∴g（x）=x-sinx≥0，
∴x+1≥sinx+1（x≥0）．
综上，ex≥x+1≥sinx+1（x≥0）．
则f′（x）=ex-1＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．
∴对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞f（0），
而f（0）=e0-0-1=0，∴f（x）＞0，
即ex＞x+1．
令g（x）=x-sinx，x≥0，
g'（x）=1-cosx≥0，
∴g（x）min=g（0）=0-sin0=0，
∴g（x）=x-sinx≥0，
∴x+1≥sinx+1（x≥0）．
综上，ex≥x+1≥sinx+1（x≥0）．
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- 1楼网友：轻雾山林
- 2021-12-28 20:32
不明白啊 = =！
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