请详细写出实心球转动惯量的推导过程

请详细写出实心球转动惯量的推导过程

∫∫∫(x^2+y^2)μdV
=2/3μ∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dxdydz
=2μ/3∫[0,2π]dθ∫[0,π]dφ∫[0,r]ρ^2*ρ^2sinφdρ
=8πμr^5/15
=2/5r^2(4π/3μr^3)
=2/5mr^2

说明:∫[a,b]f(x)dx表示f(x)在[a,b]上的定积分.μ在此处表示密度.

我不知道你写的积分式是什么意思,能说清楚点吗
你还是说得不清楚,单从你的式子看我想了很久还是不明白你的思路是什么样的,我想了很久也没想出只用一元积分就能做的,就算采用切片法也需要两次积分.你到底采用的是哪一种分割方法(把球是怎么分割的或dm指的是哪一部分),以那一根轴为转动轴,只有说清楚了我才知道你的问题到底出在哪里

如果是分成圆盘算的话,那你的表达式基本上没有一个地方写对,最少要用一个二重积分:先求每个圆盘的转动惯量,然后再将所有的圆盘的转动惯量进行叠加
对于每个圆盘
dJ=μ∫[0,√(r^2-x^2)]2πhdhdx*h^2
=μdx∫[0,√(r^2-x^2)]2πh^3dh
=πμ(r^2-x^2)^2/2dx
式中2πhdhdx表示圆盘上距离x轴为h的一个极小圆环的体积
所以
J=∫[-r,r]dJ=πμ∫[-r,r](r^2-x^2)^2/2dx
=8πμr^5/15
=2mr^2/5