高中数学必修4问题

        已知4sin²α-sinαcosα-3cos²α=0.

    (1)当α∈﹙0°,90°）时，tan(α+β)=﹣1÷7,求tanβ的值；

    (2)当α∈﹙﹣90°,0°﹚时，求sin(α+45°)÷(sin2α+cos2α+1)的值.

4sin²α-sinαcosα-3cos²α=0.得到：4tan²α-tanα-3=0.tanα=1或；

 (1)当α∈﹙0°,90°）时，tanα=1，tanβ=tan[（α+β)-α]=tan[（α+β)-tanα]/[1+tan[（α+β)*tanα]=-4/3;

(2)当α∈﹙﹣90°,0°﹚时，tanα=-3/4,sin(α+45°)÷(sin2α+cos2α+1)

=√2/2(sinα+cosα)÷[2sinαcosα+2cos²α]=√2/(4cosα)=√2/5;

解∶    由已知，各项都除以cos²α,  得   4tan²α-tanα-3=0    可解得tanα=1或tanα=﹣3／4

    ﹙1﹚当α∈﹙0°,90°﹚时，tanα＞0,所以tanα=1

    又tan(α+β﹚=﹣1／7   即tanα+tanβ／1-tanαtanβ=﹣1／7

    将tanα=1代入，得tanβ=﹣4／3

    ﹙2﹚当α∈﹙﹣90°,0°﹚时，tanα＜0,所以tanα=﹣3／4    即sinα／cosα=﹣3／4  ①

    又有sin²α+cos²α=1   ②

    将①式代入②式得  cosα=4／5或cosα=﹣4／5﹛因α∈﹙﹣90°,0°﹚，cosα＞0,应舍去﹜

    将原式化简，(sinαcos45°+cosαsin45°)／(2sinαcosα+2cos²α-1+1)=√2／(4cosα)=5√2／16