几何体 棱台

一个三棱台上,下底面分别是边长为2,4的正三角形，两底面距离为3
求 1.侧棱长
2.侧面积

这题的主要思想是补偿法，就是我把这个不规则的三棱台补成一个三棱锥，在上表面上放一个底面积为2的三棱锥。这个我就不画出来了。那么根据三棱锥的一些性质就能求出侧棱长，进而求出侧面积。

先说怎么求侧棱长：因为大的三棱锥的高是一定的，从它的顶点向底面（面积为4）做垂线，这就是三棱锥的高。我们现在已知高的一部分长是3，我补上的这个小三棱锥的高是要求出的未知数。

这个怎么求呢?用的是相似三角形的性质。因为这个三棱锥的底面，及这个平台都是等边三角形，而三棱锥的高，恰好通过这两个等边三角形的高线的2/3处，这用到了三棱锥的性质和等边三角形三线合一性。

那么等边三角形的高和边长有什么关系呢？高=边长×根号（3）/2，现在，完善一下辅助线，一个三棱锥，有了高线，还有两个平台上三角形高线。这时候，三棱锥的高线的一部分，三棱锥的侧棱，两个平台的高线会组成一个大的三角形和一个小的三角形，他们都是直角三角形而且高都与三棱锥的高线重合。

这时候就用相似三角形的性质，设我要求的这个补充小三棱锥的高是x，则有x：(x+3)=（2×根号（3）/6）：（4×根号（3）/6）这个看似复杂实际上都约掉了，即：x：(x+3)=2：4，解出x=3

这样，大三棱锥的高就求出来了，是3+3=6.

根据三角形的勾股定理，大三棱锥的高，底面高的2/3，侧棱组成的三角形是直角三角形。

就求出侧棱=2×根号（31）/3，侧面是等腰三角形，它的腰长就是三棱锥侧棱长，它的高很好求，底面边长也是已知的，侧面积=侧面的高（4×根号（7）/3）×底边长4÷2=8根号（7）/3