成才之路数学B版选修2-3答案

要排列选择题详细答案，不要选项！

选修2-2 3.2.1 是这吗

一、选择题
1．|(3＋2i)－(4－i)|等于(　　)
A.58 B.10
C．2 D．－1＋3i
[答案]　B
[解析]　原式＝|－1＋3i|＝(－1)2＋32＝10.
2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
[答案]　A
[解析]　原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.
3．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1＋z2是纯虚数，则有(　　)
A．a－c＝0且b－d≠0　　
B．a－c＝0且b＋d≠0
C．a＋c＝0且b－d≠0
D．a＋c＝0且b＋d≠0
[答案]　C
4．设f(z)＝z，且z1＝1＋5i，z2＝－3＋2i，则f(z1－z2)的值是(　　)
A．－2＋3i B．－2－3i
C．4－3i D．4＋3i
[答案]　D
[解析]　∵z1－z2＝(1＋5i)－(－3＋2i)＝4＋3i
∴z1－z2＝4－3i，∵f(z)＝z，∴f(4－3i)＝4－3i＝4＋3i.故选D.
5．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为(　　)
A．0　　　　 B．1　　　　
C.22　　　　 D.12
[答案]　C
[解析]　∵|z＋1|＝|z－i|，∴复数z的对应点轨迹为连结点A(－1,0)，B(0,1)的线段的中垂线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到定点(0，－1)的距离，∴|z＋i|≥22.故选C.
6．已知|z－3|＋|z＋3|＝10且|z－5i|－|z＋5i|＝8，则复数z等于(　　)
A．4i B．－4i
C．±4i D．以上都不对
[答案]　B
[解析]　由几何意义可知复数z的对应点在以F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点、长轴长为10的椭圆上，又在F3(0，－5)，F4(0,5)为焦点、实轴长为8的双曲线的下支上．如图故z＝－4i.故选B.

7．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1、z2、z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的(　　)
A．内心 B．垂心
C．重心 D．外心
[答案]　D
[解析]　由几何意义知，z到△ABC三个顶点距离都相等，z对应的点是△ABC的外心．
8．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)
A．1 B.2
C．2 D.5
[答案]　A
[解析]　设复数－i、i、－1－i在复平面内对应的点分别为Z1、Z2、Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.

问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，
∵|Z1Z3|＝1.故选A.
9．满足条件|z|＝1及z＋12＝z－32的复数z的集合是(　　)
A.－12＋32i，－12－32i
B.12＋12i，12－12i
C.12＋32i，12－32i
D.22＋22i，22－22i
[答案]　C
[解析]　解法1：设z＝x＋yi (x、y∈R)，依题意得
x2＋y2＝1x＋122＋y2＝x－322＋y2，解得x＝12y＝±32
∴z＝12±32i.
解法2：根据复数模的几何意义知|z|＝1是单位圆，z＋12＝z－32是以A－12，0，B32，0为端点的线段AB的中垂线x＝12.
∴满足此条件的复数z是以12为实部的一对共轭复数，由模为1知选C.故选C.
10．A、B分别是复数z1、z2在复平面上对应的两点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
[答案]　B
[解析]　由复数与向量的对应关系，|z1＋z2|＝|z1－z2|⇔|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，
∴以OA→、OB→为邻边的平行四边形为矩形，
∴∠AOB为直角．故选B.
二、填空题
11．在复平面内，若复数z满足|z＋3|＋|z－3|＝10，则z在复平面内对应的点的轨迹方程为____________．
[答案]　x225＋y216＝1
[解析]　根据模的几何意义，复数z在复平面内对应的点到两定点(－3,0)、(3,0)的距离之和为定值10，故其轨迹是以(－3,0)、(3,0)为焦点的椭圆．
∵2c＝6,2a＝10，∴b＝4，
从而其轨迹方程是x225＋y216＝1.
12．已知|z|＝1，则|1－3i－z|的最大值是________，最小值是________．
[答案]　3　1
[解析]　因为|z|＝1，所以z在半径为1的圆上，|1－3i－z|＝|z－(－1＋3i)|即圆上一点到点(－1，3)的距离，dmax＝3，dmin＝1.
13．已知z＝1＋i，设ω＝z－2|z|－4，则ω＝________.
[答案]　－(3＋22)＋i
[解析]　∵z＝1＋i，∴|z|＝2，
∴ω＝z－2|z|－4＝(1＋i)－22－4
＝－(3＋22)＋i.
14．设m∈Z，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)，
(1)若z为实数，则m＝________；
(2)若z为纯虚数，则m＝________.
[答案]　(1)1或2　(2)－12
[解析]　(1)z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
由题意：m2－3m＋2＝0，
即m＝1或m＝2时，z是实数．
(2)依题意2m2－3m－2＝0m2－3m＋2≠0解得m＝－12，
∴当m＝－12时，z是纯虚数．
三、解答题
15．已知复数z满足方程|2z－1＋i|＝|z＋1|，求复数z对应点的轨迹．
[解析]　设z＝x＋yi (x、y∈R)，则(2x－1)2＋(2y＋1)2＝(x＋1)2＋y2，整理得(x－1)2＋y＋232＝109.
∴轨迹是以点1，－23为圆心，103为半径的圆．
16．已知点P对应复数z1，点Q对应复数2z1＋3－4i，若P在圆|z|＝2上运动，求Q点的轨迹．
[解析]　设Q点对应复数为z.则z＝2z1＋3－4i，
∴z1＝12(z－3＋4i)
∵|z1|＝2，∴12(z－3＋4i)＝2.
即|z－(3－4i)|＝4.
∴Q点的轨迹是以3－4i对应点(3，－4)为圆心，半径为4的圆．
17．若f(z)＝2z＋z－3i.f(z＋i)＝6－3i，试求f(－z)．
[解析]　∵f(z)＝2z＋z－3i，
∴f(z＋i)＝2(z＋i)＋(z＋i)－3i＝2z＋2i＋z－i－3i＝2z＋z－2i，
又f(z＋i)＝6－3i，∴2z＋z－2i＝6－3im
即2z＋z＝6－im
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi.
∴2(a－bi)＋(a＋bi)＝6－i，即3a＝6－b＝－1，∴a＝2b＝1，
∴z＝2＋i，
∴f(－z)＝－2z－z－3i＝－2(2＋i)－(2－i)－3i
＝－6－4i.
18．已知z1，z2∈C，求证：
(1)|z1|－|z2|≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|；
(2)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2.
[证明]　(1)如图所示，根据复数加、减法的几何意义，令z1，z2分别对应向量AB→，AD→，
则向量AC→，DB→分别对应复数z1＋z2，z1－z2.

∵|AB→|－|BC→|≤|AC→|≤|AB→|＋|BC→|，∴|z1|－|z2|≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|.
又∵|AB→|－|AD→|≤|DB→|≤|AB→|＋|AD→|
∴|z1|－|z2|≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|.
故|z1|－|z2|≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
(2)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，
则|z1＋z2|2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ac＋2bd，
|z1－z2|2＝a2＋b2＋c2＋d2－2ac－2bd，
∴|z1＋z2|2＋|z1－z2|2
＝(a2＋b2＋c2＋d2＋2ac＋2bd)＋(a2＋b2＋c2＋d2－2ac－2bd)
＝2(a2＋b2＋c2＋d2)
＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)
＝2|z1|2＋2|z2|2，
即|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2.

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