已知:函数y=f(x),x∈R,满足f(1)=2,f(x+y)=f(x)*f(y),且f(x)是增函数,
(1)证明:f(0)=1;
(2)若f(2x)*f(x2-1)≥4成立,求x的取值范围.
已知:函数y=f(x),x∈R,满足f(1)=2,f(x+y)=f(x)*f(y),且f(x)是增函数,(1)证明:f(0)=1;(2)若f(2x)*f(x2-1)≥
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解决时间 2021-04-07 16:01
- 提问者网友:流星是天使的眼泪
- 2021-04-07 09:15
最佳答案
- 五星知识达人网友:舍身薄凉客
- 2021-04-07 09:54
解:(1)由题意可令x=y=0,代入f(x+y)=f(x)×f(y),得f(0)=f(0)*f(0),
解得f(0)=0或f(0)=1,
若f(0)=0,令x=1,y=0,则有f(1+0)=f(1)×f(0)=0,这与f(1)=2矛盾,故 f(0)=1
(2)由题意f(2x)×f(x2-1)≥4可变为f(x2-1+2x)≥4=2×2=f(1)×f(1)=f(2),
又f(x)是增函数
故有x2-1+2x≥2,整理得x2-3+2x≥0
解得x≥1或x≤-3
所以x的取值范围是x≥1或x≤-3解析分析:(1)由题意,可令x=y=0,代入f(x+y)=f(x)×f(y),得f(0)=f(0)*f(0),解得f(0);(2)由题意,可将f(2x)×f(x2-1)变为f(x2-1+2x),由f(1)=2得4=f(2),从而不等式变为f(x2-1+2x)≥f(2),再由函数是增函数,将此不等式变为二次不等式,即可解出不等式的解集.点评:本题考点是抽象函数及其应用,对所给的恒等式灵活赋值,及根据怕给的恒等式灵活变形是解本题的关键,第一小题中关键是令x=y=0,排除f(0)=0是本小题难点,第二小题将不等式变为f(x2-1+2x)≥f(2)是解题的关键,其中根据恒等式将4变为f(2)是本题的重点,本题考查了赋值的技巧及根据题设条件转化的能力,考查了转化的思想,
解得f(0)=0或f(0)=1,
若f(0)=0,令x=1,y=0,则有f(1+0)=f(1)×f(0)=0,这与f(1)=2矛盾,故 f(0)=1
(2)由题意f(2x)×f(x2-1)≥4可变为f(x2-1+2x)≥4=2×2=f(1)×f(1)=f(2),
又f(x)是增函数
故有x2-1+2x≥2,整理得x2-3+2x≥0
解得x≥1或x≤-3
所以x的取值范围是x≥1或x≤-3解析分析:(1)由题意,可令x=y=0,代入f(x+y)=f(x)×f(y),得f(0)=f(0)*f(0),解得f(0);(2)由题意,可将f(2x)×f(x2-1)变为f(x2-1+2x),由f(1)=2得4=f(2),从而不等式变为f(x2-1+2x)≥f(2),再由函数是增函数,将此不等式变为二次不等式,即可解出不等式的解集.点评:本题考点是抽象函数及其应用,对所给的恒等式灵活赋值,及根据怕给的恒等式灵活变形是解本题的关键,第一小题中关键是令x=y=0,排除f(0)=0是本小题难点,第二小题将不等式变为f(x2-1+2x)≥f(2)是解题的关键,其中根据恒等式将4变为f(2)是本题的重点,本题考查了赋值的技巧及根据题设条件转化的能力,考查了转化的思想,
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- 1楼网友:孤老序
- 2021-04-07 11:20
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