找人解道高一数学函数题

已知函数f<X>对任意x,y属于R 总有f<X>+f<y>=f<x+y> 且当x大于0时,f<X>小于0。

f<1>=负3分2

判断f<X>的奇偶性

求证f<X>是R上的减函数

 

取x=y=0得f（0）=0

取y=-x，得到f(x)+f(-x)=0,也就是f(-x)=-f（x）,是奇函数。

设a>b,f(a)-f(b)=f(a-b),因为a-b>0所以f(a-b),＜0

所以f(a)-f(b)＜0，所以f(a)＜f(b)为减函数

令y=0得fx+f0=fx所以f0=0 令y=-x得fx+f-x=f0=0所以f-x=-fx所以为奇函数 设x1<x2 f(x2-x1)=fx2-fx1<0所以fx2<fx1所以为减函数

令X=Y=0,可以解得f(0)=0

令X=-Y,所以f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=0,,即f(x)=-f(-x),,所以为奇函数

当X>0时，令X0=X1-X2>0,f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1-x0)=f(x1)-f(x1)-f（-x0)=-f(-x0)=f(x0)

因为x0>0

所以f(x0)<0,,所以f(x)在x>O时为减函数

 同理，当x<o时可证

f<0>+f<0>=f<0+0>=f<0>

得f<0>=0

故有f<x>+f<-x>=f<x-x>=0

故f<x>在R上为奇函数

设X1>X2,且属于R

有f<x1>+f<-x2>=f<x1>-f<x2>=f<x1-x2>小于0

f<x1> < f<x2>

故为减函数