牛顿曾证明：一个均匀球壳，对球壳内物质的万有引力为零，而对球壳外物质的万有引力不为零，并且其作用就

牛顿曾证明：一个均匀球壳，对球壳内物质的万有引力为零，而对球壳外物质的万有引力不为零，并且其作用就相当于球壳的质量都集中到球心那样．我们想象一个沿着地球转轴，穿过地球的通道．假设地球是一个均匀的球体，可以忽略空气阻力、摩擦等的影响，地球半径为R，质量为M．（1）在地球表面，把小球放在上述通道的一洞口，由静止释放，他将怎样运动？试求小球到达另一洞口所需的时间．（2）假定就在地球表面上，和经线圈平行有一个卫星轨道，当卫星正好飞过通道的入口处时，把小球静止释放，问卫星和小球，那个先到达通道的另一个出口处．（3）将物体从地心抛向地面，为了使他能到达地面，从地心抛出时的初速度应是多大？

（1）设物体运动到某一位置时距地球球心O的距离为x
则：F＝G
M′m
x2 ，
M′
M ＝

4
3 πx3

4
3 πR3
所以：F＝G
Mm
R3 x
而力F的方向与x的方向相反，故小球在隧道的运动为简谐振动，
T=2π




m
k =2π




R3
GM
故t=
T
2 ＝π




R3
GM ；
（2）在通道入口把小球静止释放，到达通道出口所用时间，即第一问所得：t1＝π




R3
GM ；
卫星沿经线圈做圆周运动，根据万有引力做向心力，得：
GMm″
R2 ＝
m″v2
R
卫星由入口到出口运动距离为：l=πR=vt2；
联立得：t2＝π




R3
GM ；
因t1和t2时间相等，故卫星和小球同时到达通道出口；
（3）根据机械能守恒，设小球刚好能到达地面，其初速度为v0，则：
1
2 mv02＝mgR；
由万有引力充当重力得：
GM
R2 ＝g；
联立得：v0＝




2GM
R ；
故从地心抛出时的初速度不小于




2GM
R ；
答：（1）小球在隧道的运动为简谐振动，小球到达另一洞口所需的时间为π




R3
GM ；
（2）两者同时到达；
（3）从地心抛出时的初速度不小于




2GM
R ．

这都不要怎么证明就能说明的，球体是中心对称的，球壳的各个部分对内部均有引力作用，只不过在球壳对称的位置总有等大反向的万有引力，故整个球壳对内部的万有引力为零，这是合力为零，部分不为零。