二次函数的所有公式（包括a,b,c,x.y,图像规律等）

二次函数的所有公式（包括a,b,c,x.y,图像规律等）

定义与定义表达式　

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　y=ax^2+bx+c

　　（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）

　　则称y为x的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次。

　　x是自变量，y是x的函数

　　二次函数的三种表达式　

　　①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

　　②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k

　　③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)

　　以上3种形式可进行如下转化：

　　①一般式和顶点式的关系

　　对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即

　　h=-b/2a=(x1+x2)/2

　　k=(4ac-b^2)/4a

　　②一般式和交点式的关系

　　x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

　　抛物线的性质　

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )

　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于（0，c）

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　_______

　　Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 乘上虚数i，整个式子除以2a）

　　当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变

　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)

　　7.定义域：R

　　值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）

　　奇偶性：非奇非偶 （当且仅当b=0时，函数解析式为f（x）=ax^2+c, 此时为偶函数）

　　周期性：无

　　解析式：

　　①y=ax^2+bx+c[一般式]

　　⑴a≠0

　　⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；

　　⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；

　　⑷Δ=b^2-4ac,

　　Δ＞0，图象与x轴交于两点：

　　（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

　　Δ＝0，图象与x轴交于一点：

　　（-b/2a，0）；

　　Δ＜0，图象与x轴无交点；

　　②y=a(x-h)^2+t[配方式]

　　此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；

　　二次函数与一元二次方程　

　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

　　即ax^2+bx+c=0

　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

　　1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

　　解析式

　　y=ax^2

　　y=a(x-h)^2

　　y=a(x-h)^2+k

　　y=ax^2+bx+c

　　顶点坐标

　　(0，0)

　　(h，0)

　　(h，k)

　　(-b/2a，sqrt[4ac-b^2]/4a)

　　对 称 轴

　　x=0

　　x=h

　　x=h

　　x=-b/2a

　　

　　当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；

　　当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

　　当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

　　当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

　　因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

　　2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．

　　3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．

　　4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

　　(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

　　(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）

　　当△=0．图象与x轴只有一个交点；

　　当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

　　5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

　　6．用待定系数法求二次函数的解析式

　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

　　y=ax^2+bx+c(a≠0)．

　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．

　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．

　　7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．