实数的有关概念和性质

实数的有关概念和性质

实数的概念

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。
实数集通常用黑正体字母
R
表示。而

表示
n
维实数空间。实数是不可数的。实数是实数
理论的核心研究对象。

实数可以用来测量连续的量。
理论上，
任何实数都可以用无限小数的方式表示，
小数点的右
边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近
似成一个有限小数（保留小数点后
n
位，
n
为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能
存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

实数的运算法则

1
、加法法则：

（
1
）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加；

（
2
）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

可使用①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．即：

②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．即：

2
、减法法则：

减去一个数等于加上这个数的相反数。即
a-b=a+(-b)
3
、乘法法则：

（
1
）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。

（
2
）
n
个实数相乘，有一个因数为
0
，积就为
0
；若
n
个非
0
的实数相乘，积的符号由负因
数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。

（
3
）乘法可使用①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即：

．

②乘法结合律

：
三个数相乘，
先把前两个数相乘，
或者先把后两个数相乘，
积不变．
即：

。
③分配律

：

一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相
加．即：

．

4
、除法法则：

（
1
）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

（
2
）除以一个数等于乘以这个数的倒数。即

（
3
）
0
除以任何数都等于
0
，
0
不能做被除数。

5
、乘方：

所表示的意义是
n
个
a
相乘，即

正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．

乘方与开方互为逆运算。

6
、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如
果没有括号，
在同一级运算中要从左到右依次运算，
不同级的运算，
先算高级的运算再算低
级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。