已知函数f（x）=x3-ax2-3x．（1）若f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．（2）若函数g

已知函数f（x）=x3-ax2-3x．
（1）若f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．
（2）若函数g（x）=f（x）-（a2-3）x+1（a＞0）至多有两个零点，求实数a的取值范围．

（1）f′（x）=3x2-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，
∴f′（x）=3x2-2ax-3≥0即2a≤3x?
3
x 在[1，+∞）上恒成立，
而y=3x?
3
x 在[1，+∞）上单调递增，
∴3x-
3
x ≥3-3=0，
∴a≤0；
（2）g（x）=f（x）-（a2-3）x+1=x3-ax2-a2x+1，
g′（x）=3x2-2ax-a2=（3x+a）（x-a），
当x＜?
a
3 或x＞a时，g′（x）＞0，g（x）递增；当?
a
3 ＜x＜a时，g′（x）＜0，g（x）递减．
∴x=-
a
3 时g（x）取得极大值，x=a时g（x）取得极小值．
g（-
a
3 ）=
5
27 a3+1＞0，g（a）=-a3+1，
∵g（x）=f（x）-（a2-3）x+1（a＞0）至多有两个零点，
∴-a3+1≥0，解得0＜a≤1．
∴实数a的取值范围是（0，1]．

（1）f′（x）=3x2-2ax-3≥0在[1，+∞）恒成立． ∵x≥1．∴a≤ 3 2 （x- 1 x ）， 当x≥1时，令g（x）= 3 2 （x- 1 x ）是增函数，g（x）min= 3 2 （1-1）=0． ∴a≤0． （2）∵x=3是f（x）的极值点 ∴f′（3）=0，即27-6a-3=0，∴a=4． ∴f（x）=x3-4x2-3x有极大值点x=- 1 3 ，极小值点x=3． 此时f（x）在x∈[- 1 3 ，3]上时减函数，在x∈[3，+∝）上是增函数． ∴f（x）在x∈[1，a]上的最小值是：f（3）=-18，最大值是：f（1）=-6，（因f（a）=f（4）=-12）．