多项式的概念

多项式的概念

问题一：多项式的定义 在数学中，多项式（polynomial）是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、幂运算（正整数次方）得到的表达式。 对于比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。按这个定义，多项式就是整式。实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。0作为多项式时，次数定义为负无穷大（或0）。单项式和多项式统称为整式。多项式中不含字母的项叫做常数项。如：5X+6中的6就是常数项。问题二：高中数学多项式概念问题 多项式f(x)图像与x轴相交次数就是方程f(x) = 0的实根个数.
一元n次多项式至多有n个实根, 这可以用数学归纳法证明.
n = 1时结论显然成立.
假设n = k时结论成立.
对n = k+1, 任取一元n次多项式f(x).
若f(x)无实根, 则结论成立;
若f(x)有实根a, 则存在k次多项式g(x)使f(x) = (x-a)g(x);
根据归纳假设, g(x)至多有k个实根, 从而f(x)至多有k+1个实根, 即n = k+1时结论成立.
由数学归纳法原理, 结论对任意正整数n成立.
以上证明实际上也适用于复根, 即一元n次多项式至多有n个复根.
而代数基本定理保证一元n次多项式在计重数的意义上恰有n个复根,
但不能在高中数学范围内证明.