已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点A（-1,4）和B（2,1）并且与x轴有两个不同的交点，求b+c的最大值

a为正整数
请给出过程

条件：①y=ax²+bx+c的图像经过点A（-1,4）和B（2,1）
把这两个点坐标代入得
A：a-b+c=4
B：4a+2b+c=1
两个方程，三个未知数，解不出，但是可以统一参量。这道题告诉a是正整数，a是个焦点，要用a表示b、c。把a看成已知数解方程，得到
b=-1-a
c=3-2a
b+c=2-3a
已经可以看出只要找到a的最小值，对应就是b+c最大值。
②并且与x轴有两个不同的交点
这句话说把y=0带入后方程ax²+bx+c=0有两个不同实根，故判别式△=b²-4ac>0，把b、c代入
(a+1)²-4a(3-2a)>0
得9a²-10a+1>0即(a-1)(9a-1)>0
从而(a-1)与(9a-1)要么同正，要么同负，所以a>1或a<1/9，a是正整数，所以a>1，最小值是2。从而b+c最大是2-6=-4。
要是答案不对劲可以追问。

解：由于二次函数的图象过点A（-1，4），点B（2，1）， 所以 a-b+c=44a+2b+c=1 ， 解得 b=-a-1c=3-2a. 因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点， 所以△=b2-4ac＞0， （-a-1）2-4a（3-2a）＞0，即（9a-1）（a-1）＞0， 由于a是正整数，故a≥2， 又因为b+c=-3a+2≤-4， 故b+c的最大值为-4． 故答案为-4．

先把A、B两点坐标代入解析式得：a－b＋c＝4，4a＋2b＋c＝1 解得：b＝－1－a，c＝3－2a 由于抛物线与x轴有两个不同的交点，故△＝b^2－4ac＞0 即：(－1－a)^2－4a(3－2a)＞0 ∴9a^2－10a＋1＞0 (9a－1)(a－1)＞0 由于a是正整数，故9a－1＞0 从而a－1＞0，a＞1，即有a≥2 又b＋c＝(－1－a)＋(3－2a)＝2－3a≤2－3×2＝－4