已知函数f(x)=e^(2x)-2tx,g(x)=-x^2+2te^x-2t^2+1/2

已知函数f(x)=e^(2x)-2tx,g(x)=-x^2+2te^x-2t^2+1/2. (1）求f(x)在区间>=0上的最小值。（2）求证：若t=1,则不等式g(x)>=1/2对于任意的x>=0恒成立。（3)求证:若t属于R,则不等式f(x)>=g(x)对于任意的x属于R恒成立。

(1)

f'(x)=2(e^(2x)-t)，因为在x>=0上，e^(2x)>=1

t<1时，f'(x)>0，f(x)>f(0)=1，f(x)最小=1

t>=1时，f(x)在x=(lnt)/2取得最小值，f(x)最小=t(1-lnt)

(2)

t=1，g(x)=-x^2+2e^x-2+1/2=2(e^x-1)-x^2+1/2

设h(x)=2(e^x-1)-x^2

h'(x)=2e^x-2x=2(e^x-x)

令j(x)=e^x-x，则j'(x)=e^x-1，在x>=0的条件下，j'(x)恒>0，所以j(x)>j(0)=1

因为j(x)>1，所以h'(x)恒>0，所以h(x)>h(0)=0

所以最后h(x)+1/2恒>h(0)+1/2=1/2，得证

(3)再想想