已知椭圆x2/a2+y2/b2=1.离心率=√2/2.短轴为2:求椭圆方程

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1.离心率=√2/2.短轴为2:求椭圆方程

c/a=2根号2 c^2=1/2a^2

2b=2 b=1

a^2=C^2+b^2
a^2=1/2a^2+1

a^2=2

a=根号2

x2/2+y2=1

(1)b=1,有a²=1+c²,c/a=√2/2,解得a=√2,∴椭圆方程为x²/2+y²=1 (2)若存在这样的定点,那麼当l旋转到与y轴重合时,依然满足at⊥bt 此时的a(0,1),b(0,-1),t在以ab为直径的圆x²+y²=1上 同理,当l旋转到与x轴平行时,满足at⊥bt 令y=-1/3,解得x1=-4/3,x2=4/3,所以a(-4/3,-1/3),b(4/3,-1/3) t在ab为直径的圆x²+(y+1/3)²=16/9上 联立解得t的坐标为(0,1)∴ta→=(x1,y1-1),tb→=(x2,y2-1) 设直线l:y=kx-1/3,联立椭圆方程得(2k²+1)x²-4kx/3-16/9=0 x1+x2=4k/3(2k²+1),x1x2=-16/9(2k²+1) ∴y1+y2=kx1-1/3+kx2-1/3=-2/3(2k²+1),y1y2=(kx1-1/3)(kx2-1/3)=(1-18k²)/9(2k²+1) ta→*tb→=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=0 即无论k取何值,都有ta→*tb→=0 ∴存在t(0,1)