证明ln2+(ln3-ln2)^2+(ln4-ln3)^3+...+(ln(n+1)-lnn)^n<e/(e-1)
答案:1 悬赏:40 手机版
解决时间 2021-11-13 01:58
- 提问者网友：謫仙
- 2021-11-12 21:22
证明ln2+(ln3-ln2)^2+(ln4-ln3)^3+...+(ln(n+1)-lnn)^n<e/(e-1)
最佳答案
- 五星知识达人网友：迷人又混蛋
- 2021-11-12 22:28
lnn/n^2递减，并且lnn/n^2 -> 0
∑lnn/n^2递增。
∑lnn/n^2=1/2*(∑ln(n^2)/n^2)
考虑f(x)=ln(x)/x^2
lim (n->∞) ∑ln(n^2)/n^2<(2->n^2)∫ln(x)/x dx=ln(ln(n^2))-ln(ln2)=ln2+ln(ln(n))-ln(ln2)
(2n*n-n-1)/4(n+1)=(n+1)/2-5/4+1/2(n+1)
而对于n>1有
∑lnn/n^2=1/2*(∑ln(n^2)/n^2)<1/2*(ln2+ln(ln(n))-ln(ln2))<(n+1)/2-5/4+1/2(n+1)=(2n*n-n-1)/4(n+1)
因为n=2时成立，且0<[1/2*(ln2+ln(ln(n))-ln(ln2))]'<1/2<[(2n*n-n-1)/4(n+1)]'
∑lnn/n^2递增。
∑lnn/n^2=1/2*(∑ln(n^2)/n^2)
考虑f(x)=ln(x)/x^2
lim (n->∞) ∑ln(n^2)/n^2<(2->n^2)∫ln(x)/x dx=ln(ln(n^2))-ln(ln2)=ln2+ln(ln(n))-ln(ln2)
(2n*n-n-1)/4(n+1)=(n+1)/2-5/4+1/2(n+1)
而对于n>1有
∑lnn/n^2=1/2*(∑ln(n^2)/n^2)<1/2*(ln2+ln(ln(n))-ln(ln2))<(n+1)/2-5/4+1/2(n+1)=(2n*n-n-1)/4(n+1)
因为n=2时成立，且0<[1/2*(ln2+ln(ln(n))-ln(ln2))]'<1/2<[(2n*n-n-1)/4(n+1)]'
我要举报
如以上问答信息为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！
大家都在看
推荐资讯