如何证明无理数的存在

真理
任何有理数,不是单个整数,就是分数（有限小数或无限循环小数）.
而整数和分数,都是是可以表示成两个整数之比的,这是有理数的特性.
一个等腰直角三角形,直角边为1,斜边为X.
依据勾股定理,X的平方=1的平方+1的平方=2.
若设X为有理数,则X必定可以表示为两互质整数的比,则再设X=P/Q（ P,Q两整数互质）. 综上,可得 P的平方/Q的平方=2. 即,P的平方=2倍的Q的平方.
因为,偶数的平方为偶数,奇数的平方为奇数,所以,P为偶数,可以设为2N,（N是整数）. 则P的平方=4倍的N的平方=2倍的Q的平方,则Q的平方=2倍的N的平方,所以Q也是偶数. 则P ,Q都是偶数, 而命题中P,Q是互质的,矛盾,所以,X=P/Q（P,Q两整数互质） 的命题是不成立的,所以X不是有理数,但它仍然可以在数轴上表示出来,是实数,无理数,但不是有理数.