设实二次型f=xTAx的秩为2，α1=（1,0,0）T....
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解决时间 2021-11-20 00:35
- 提问者网友：我是女神我骄傲
- 2021-11-19 08:16
设实二次型f=xTAx的秩为2，α1=（1,0,0）T....
最佳答案
- 五星知识达人网友：琴狂剑也妄
- 2021-11-19 08:22
(1) 由已知 α1 是A的属于特征值2的特征向量
α2 是A的属于特征值6的特征向量
由于R(A)=2, 所以 0 是A 的特征值, 且属于0的特征向量α3=(x1,x2,x3)^T与 α1,α2正交
所以有
x1=0
-x2+x3=0
所以 α3 = (0,1,1)^T
所以A的特征值为 2,6,0
属于它们的全部特征向量分别为 k1α1,k2α2,k3α3, k1,k2,k3 不为0
(2) 将α1,α2,α3单位化构成矩阵P=
1 0 0
0 -1/√2 1/√2
0 1/√2 1/√2
则 X=PY是正交变换, 且 f = 2y1^2+6y2^2.
(3) A = Pdiag(2,6,0)P^-1 =
2 0 0
0 3 -3
0 -3 3
所以 f = 2x1^2+3x2^2+3x3^3 - 6x2x3.
α2 是A的属于特征值6的特征向量
由于R(A)=2, 所以 0 是A 的特征值, 且属于0的特征向量α3=(x1,x2,x3)^T与 α1,α2正交
所以有
x1=0
-x2+x3=0
所以 α3 = (0,1,1)^T
所以A的特征值为 2,6,0
属于它们的全部特征向量分别为 k1α1,k2α2,k3α3, k1,k2,k3 不为0
(2) 将α1,α2,α3单位化构成矩阵P=
1 0 0
0 -1/√2 1/√2
0 1/√2 1/√2
则 X=PY是正交变换, 且 f = 2y1^2+6y2^2.
(3) A = Pdiag(2,6,0)P^-1 =
2 0 0
0 3 -3
0 -3 3
所以 f = 2x1^2+3x2^2+3x3^3 - 6x2x3.
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