f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)f(x-y),求：f(2010)=?

注意，是4f(x)f(y)

设y=1，代入方程得f(x)=f(x+1)f(x-1)，则f(x+1)=f(x+2)f(x)，两方程左右两边分别相乘得1=f(x+2)f(x-1)，即f(x)=1/f(x-3)=f(x-6)，所以f(2010)=f(0)。令x=1，y=0带入原方程得f(0)=1/16，则f(2010)=1/16。

令x=1，y=0 得： 4f(1)f(0)=2f(1) f(0)=2*1/4=1/2 令 y=1 得 f(x)=f(x+1)+f(x-1)    f(x-1)=f(x)+f(x-2) 上面2式相加得 f(x+1)+f(x-2)=0 f(x-2)+f(x-5)=0 f(x+1)=f(x-5) f(x)周期为6 f(2010)=f(6*335)=f(0)=1/2

取x=1,y=0得f(0)=1/16 取y=1,得f(x+1)=f(x)/f(x-1) 令x=1,求出f(2)=4， 令x=2,求出f(3)=16， 令x=3，f(4)=4， 令x=4，f(5)=1/4， 令x=5，f(6)=1/16， …… 一直求下去， 发现f(n)是一个周期为6的数列。 由于（2010+1）/6=335……余数为1。 所以f（2010）=f(0)=1/16。

取x=1,y=0得f(0)=1/16 取y=1,得f(x+1)=f(x)/f(x-1) 令x=1,求出f(2)=4， 令x=2,求出f(3)=16， 令x=3，f(4)=4， 令x=4，f(5)=1/4， …… 一直求下去， 发现f(n)是一个周期为6的数列。 由于（2010+1）/6=335……余数为1。 所以f（2010）=f(0)=1/16。

此题目有错，这个函数不存在 令x=1,y=0,得出f(0)=1/16 令x=0,y=0得出4f(0)*f(0)=f(0)*f(0)，则f(0)=0 根据函数的定义，f(0)有唯一值，因此不存在符合题意的函数