设f(x)在[0,1]上可微,且f(1)=2∫0~1/2 xf(x)dx,证明存在ξ属于(0,1),使f(ξ)+ξf’(

设f(x)在[0,1]上可微,且f(1)=2∫0~1/2 xf(x)dx,证明存在ξ属于(0,1),使f(ξ)+ξf'(ξ)=1

证明：由积分中值定理,存在η∈(0,1/2)使
2∫[0→1/2] xf(x) dx=2*ηf(η)*(1/2)=ηf(η)=f(1)
令g(x)=xf(x),则g(η)=ηf(η)=f(1),g(1)=f(1)
因此g(x)在[η,1]内满足罗尔中值定理条件,
即存在ξ∈(η,1),使g'(ξ)=0,且g'(x)=f(x)+xf '(x)
因此：g'(ξ)=0即：f(ξ)+ξf '(ξ)=0.证毕
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