如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC，垂足为E，ED的延长线交CA的延长线于F，求证：AD=AF

如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC，垂足为E，ED的延长线交CA的延长线于F，求证：AD=AF

因为AB=AC

所以∠B=∠C

因为DE⊥BC

所以∠FEC=∠DEB=90°

所以∠C+∠F=∠B+∠BDE=90°

所以∠F=∠BDE

因为∠ADF=∠BDE

所以∠F=∠ADF

所以AD=AF

解： ∵AB=AC
∴∠B=∠C
又∵FE⊥BC
∴∠CEF=∠BED=90°
∠BDE=90°-∠B
∠EFC=90°-∠C
∴∠BDE=∠EFC
又∵∠FDA=BDE
∴∠EFC=∠FDA
即AD=AF

由题意易得<B=<C，又因为DE垂直BC,所以<F=<BDE(看三角行BDE和FEC)又因为对顶角相等，所以<BDE=<FDA,所以<F=<FDA，所以AF=AD

∵AB=AC

∴∠DBE=∠ACE

∵DE⊥BC

∴∠DEC=∠DEB=90°

∴∠BDE=∠DFA

∵直线AB.FE交与点D

∴∠BDE=∠FDA （对顶角定义）

∵∠BDE=∠DFA （已求）

∴∠DFA=∠FDA （等量代换）

∴AD=AF (等腰三角形性质）