求微分方程通解 y'+2xy/(1+x^2)=x/(1+x^2)的详细过程，高数工本2013年1月的题目
答案:2 悬赏:20 手机版
解决时间 2021-03-02 14:19
- 提问者网友：欲望失宠
- 2021-03-01 15:47
求微分方程通解 y'+2xy/(1+x^2)=x/(1+x^2)的详细过程，高数工本2013年1月的题目
最佳答案
- 五星知识达人网友：几近狂妄
- 2021-03-01 16:11
（1+x^2)y'-2xy=x
两边同时除以(1+x^2)^2，得：
[(1+x^2)y'-2xy]/(1+x^2)^2=x/(1+x^2)^2 ，既：
[y/(1+x^2)]'=x/(1+x^2)^2
两边积分得：
y/(1+x^2)=∫x/(1+x^2)^2 dx=(1/2)∫d(1+x^2)/(1+x^2)=(1/2)ln(1+x^2)
既：
y=[(1+x^2)ln(1+x^2)]/2 +C
两边同时除以(1+x^2)^2，得：
[(1+x^2)y'-2xy]/(1+x^2)^2=x/(1+x^2)^2 ，既：
[y/(1+x^2)]'=x/(1+x^2)^2
两边积分得：
y/(1+x^2)=∫x/(1+x^2)^2 dx=(1/2)∫d(1+x^2)/(1+x^2)=(1/2)ln(1+x^2)
既：
y=[(1+x^2)ln(1+x^2)]/2 +C
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- 1楼网友：玩家
- 2021-03-01 17:28
解：将原方程整理为，y''-[2x/(x^2+4)]y'+[2/(x^2+4)]y=0。
∵-[2x/(x^2+4)]+x[2/(x^2+4)]=0，∴原方程有特解y=x。
设y1=u(x)x是方程的解，将y1带入原方程，可得u(x)=x-4/x。
∴其通解为yc=c1x+c2y1=c1x+c2(x^2-4)。供参考。
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