在等差数列 {an }中,a1=3,a2=6,an+2=an+2一an
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解决时间 2021-03-15 23:10
- 提问者网友：世勋超人
- 2021-03-15 14:28
在等差数列 {an }中,a1=3,a2=6,an+2=an+2一an
最佳答案
- 五星知识达人网友：愁杀梦里人
- 2021-03-15 14:52
（1）∵a1=3，an=2an-1+n-2（n≥2，且n∈N+）
∴a2=2a1+2-2=6（2分）
a3=2a2+3-2=13（4分）
（2）证明：∵
an+n
an-1+(n-1)
=
(2an-1+n-2)+n
an-1+n-1
=
2an-1+2n-2
an-1+n-1
=2
∴数列an+n是首项为a1+1=4，
公比为2的等比数列．（7分）
∴an+n=4⋅2n-1=2n+1，
即an=2n+1-n
∴an的通项公式为an=2n+1-n（n∈N+）（9分）
（3）∵an的通项公式为an=2n+1-n（n∈N+）
∴Sn=（22+23+24+…+2n+1）-（1+2+3+…+n）（11分）
=
22×(1-2n)
1-2
-
n×(n+1)
2
=2n+1-
n2+n+8
2
（13分）
∴a2=2a1+2-2=6（2分）
a3=2a2+3-2=13（4分）
（2）证明：∵
an+n
an-1+(n-1)
=
(2an-1+n-2)+n
an-1+n-1
=
2an-1+2n-2
an-1+n-1
=2
∴数列an+n是首项为a1+1=4，
公比为2的等比数列．（7分）
∴an+n=4⋅2n-1=2n+1，
即an=2n+1-n
∴an的通项公式为an=2n+1-n（n∈N+）（9分）
（3）∵an的通项公式为an=2n+1-n（n∈N+）
∴Sn=（22+23+24+…+2n+1）-（1+2+3+…+n）（11分）
=
22×(1-2n)
1-2
-
n×(n+1)
2
=2n+1-
n2+n+8
2
（13分）
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