直线AB与半径为2的圆O相切与点C,D为圆O上一点，弦EF∥AB

EG平分∠DEF， 求证：EC=CG

证明：在圆O中
∵EF∥AB
∴∠ACE=∠FEC
∵AB与圆O相切
∴∠ACE=∠EDC
∴∠FEC=∠EDC
∵EG平分∠DEF
∴∠DEG=∠FEG
∵∠EGC=∠EDC+∠DEG
∴∠EGC=∠FEC+∠FEG
∵∠CEG=∠FEC+∠FEG
∴∠CEG=∠EGC
∴EC=CG

连接OC与EF相交于H点，连接OF，OE OC⊥EF，三角形OEH与OFH全等， ∠EOC=∠FOC，弧EC=弧FC ∴∠EDC=∠FEC EG平分∠DEF，∴∠DEG=∠FEG ∴∠EDC+∠DEG=∠FEC+∠FEG 即∠GEC=∠EGC ∴EC=CG

连接oc,oe ∵角edc=30° ∴角eoc=60° 又∵oc=oe ∴△eoc为等边三角形 ∴oe=oc=ec=2 ∵直线ab与圆o相切于c ∴角oca=90° 又∵ef‖ab ∴角ehc=角oca=90°（设ef与oc交于h） ∴角fec=30° ∴ch=½ec=1 ∴eh=根号（ec²-hc²）=根号3 ∴ef=2eh=二倍根号三