如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F。 试说明：BP=DP； 如图2，若正方形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是不是总有B

如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F。 试说明：BP=DP； 如图2，若正方形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是不是总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请画图用反例加以说明； （3） 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与正方形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在正方形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论； （4） 旋转的过程中AP和DF的长度是不是相等，若不等，直接写出AP∶DF= ； （5） 若正方形ABCD的边长是4，正方形PECF的边长是1.把正方形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中，△PBD的面积是不是存在最大值、最小值？假如存在，试求出最大值、最小值；假如不存在，请说明理由。

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如图所示，已知点P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F。  （1）求证：BP=DP；  证明：  因为四边形ABCD为正方形，AC为对角线  所以，∠PAD=∠PAB=45°  所以，在△PAD和△PAB中：  AD=AB（已知）  ∠PAD=∠PAB=45°（已证）  PA边公共  所以，△PAD≌△PAB（SAS）  所以，PB=PD  （2）如图2所示，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；  在旋转的过程中，并不是总有BP=DP  假设，当点P逆时针旋转到位于BC线段上时（请自己作草图）  很明显：  因为点P在线段BC上，所以：BP＜BC  而此时DP是Rt△DCP的斜边，所以：DP＞DC  所以，DP＞DC=BC＞BP  （3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论。  因为四边形ABCD为正方形，AC为其对角线  则，AC为∠BCD的平分线  且，PE⊥BC，PF⊥CD  根据角平分线上的点到两边的距离相等，就有：PE=PF  所以，四边形PECF也是正方形  如图  连接BE、DF，则无论四边形PECF怎么旋转，始终有BE=DF  这是因为：  由上面的证明知，四边形PECF为正方形，所以：  ∠DCF+∠FCB=∠DCB=90°  ∠BCE+∠FCB=∠FCE=90°  所以，∠DCF=∠BCE  所以，在△DCF和△BCE中：  DC=BC（已知）  ∠DCF=∠BCE（已证）  CF=CE（已证）  所以，△DCF≌△BCE（SAS）  （即，无论如何旋转，上述两个三角形始终是全等的）  所以，DF=BE