∫∫∫zdxdydz,z=x2 y2及z=6所围成的区域

∫∫∫zdxdydz,z=x2 y2及z=6所围成的区域

解：根据题意分析知，所围成的闭区域在xy平面的投影是圆S：x²+y²=2y
则 ∫∫∫<Ω>zdxdydz=∫<0,π>dθ∫<0,2sinθ>rdr∫<r²,2rsinθ>zdz (作柱面坐标变换)
=∫<0,π>dθ∫<0,2sinθ>[(4r²sin²θ-r^4)/2]rdr
=∫<0,π>dθ∫<0,2sinθ>(2r³sin²θ-r^5/2)dr
=∫<0,π>[8(sinθ)^6-(16/3)(sinθ)^6]dθ
=∫<0,π>[(8/3)(sinθ)^6]dθ
=(1/3)∫<0,π>[5/2-3cos(2θ)+(3/2)cos(4θ)-(1-sin²(2θ))cos(2θ)]dθ
=(1/3)[(5/2)θ-(3/2)sin(2θ)+(3/8)sin(4θ)-(1/2)(sin(2θ)-sin³(2θ)/3)]│<0,π>
=(1/3)(5π/2)
=5π/6。